1ère S Barycentre, ensemble de points

1ère S Barycentre, ensemble de points

Comment déterminer un ensemble de points M dans l’espace à partir d’une relation qui comporte la norme d’une somme vectorielle.

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Aujourd’hui l’exercice nous demande de déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que la norme de cette somme vectorielle là, donc MA-3MB-2MC=12, avec A, B et C trois points distincts dans l’espace. Souvent, quand tu as une relation qui ressemble à celle-ci, il faut essayer de penser en relation barycentrique. Pourquoi, parce que ici on a 3 points qui sont distincts. On a une relation du type alpha.MA+beta.MB+gamma.MC, relation vectorielle. Et quand tu penses à un barycentre, tu peut introduire le barycentre que l’on va appeler G, comme d’habitude. Ce barycentre G, tu peux l’introduire et dire que c’est le barycentre des 3 points A, B, C bien sur, mais A, B, C pondérés des bons poids, puisque le barycentre de points est toujours le barycentre de points pondérés. Ce n’est pas juste le barycentre de points géométriques comme ça. Chaque point possède un poids. Donc A de poids 1 puisqu’il y a un 1 devant le vecteur MA, un 1 tacite, de poids -3 pour le point B et de poids -2 pour le point C.

Tu vérifies bien que la somme des poids n’est pas nulle parce que quand la somme des poids est nulle, il ne peut pas exister de barycentre de ces points. Ici, 1-3 ça fait -2 et -2-2 ça fait -4. Donc c’est différent de 0. Donc on peut dire que G, le barycentre de ces points avec ces poids là existe. D’accord, donc ça c’est toujours une première chose à vérifier. Hein, un barycentre n’existe que quand la somme des poids est différente de 0. Première précaution à prendre. Une fois que tu t’est assuré de cela, pourquoi je t’ai dit d’introduire ce barycentre G? Eh bien en fait, puisque dans le cours sur les barycentres il y a une relation très très importante que je te recommande de connaître, c’est même presque la seule que je te recommande de connaitre dans le chapitre sur les barycentres. C’est que pour n’importe quel point M du plan et même de l’espace, tu as pour 3 points, disons A de poids alpha, B de poids bêta et C de poids gamma, pour ces 3 points là, si tu considère que G est le barycentre de ces 3 points, donc que G existe – avec la précaution que je te disais de prendre tout juste précédemment -. Eh bien tu as la relation pour n’importe quel point M, pour tout point M du plan si c’est en 2d ou de l’espace si c’est si tu raisonne en 3d, comme ici dans l’exercice, alors tu as la relation alpha.MA+bêta.MB+gamma.MC=(alpha+bêta+gamma).MG,

avec G le barycentre de ces 3 points pondérés là.

Et cette relation est vraiment très utile puisque tu peux retrouver les autres relations du cours en remplaçant M par n’importe quel point, notamment quand tu remplaces M par le point G, tu obtiens alpha.GA+beta.GB+gamma.GC=(alpha+béta+gamma).GG, mais le vecteur GG c’est le vecteur nul.

Donc tu obtient
alpha.GA+bêta.GB+gamma.GC=vecteur nul.

Ça c’est une relation souvent que l’on connait quand on a déjà vu le chapitre sur le barycentre.

Et nous c’est exactement cette relation que l’on va utiliser et qui est valable pour n’importe quel point M. Donc ça veut dire que une telle somme vectorielle ici, tu peux la remplacer par un simple vecteur moyennant un coefficient qui est le coefficient alpha+beta+gamma, donc la somme des poids.

<Calcul mathématique>

Dans notre exercice, dans notre cas:

MA-3MB-2MC=-4MG.

Donc tu remplaces une somme vectorielle très compliquée par juste un vecteur, moyennant ce coefficient multiplicatif près. Donc c’est vraiment super utile d’introduire le barycentre des 3 points pondérés.

<calcul mathématique>

Et quand on a la distance des points M à ce point G qui vaut 3, quel ensemble ça représente dans l’espace? Il faut bien noter ici que l’on raisonne dans l’espace et non pas dans le plan. Cette relation signifie en fait que l’ensemble des points M, c’est la sphère de centre G et de rayon 3.

Une relation comme celle-ci, dans l’espace correspond à une sphère de centre G et de rayon 3.

Et dans un plan ça correspondrait à un cercle de centre G et de rayon 3.

Donc, en conclusion: Quand tu vois une somme vectorielle comme celle-ci qui te demande de déterminer un ensemble de points M, eh bien, moi je te conseille de penser tout de suite à introduire le barycentre des points en question qui sont A, B, C qui sont des points connus et d’introduire le barycentre de ces points avec le poids qui convient. Il faut bien choisir le poids et le poids c’est ce qu’il y a devant le MA, devant le MB et devant le MC.

Parfois l’exercice te donnera l’indication et te dira d’introduire justement le barycentre de ces points là, mais parfois c’est à toi d’y penser. Et quand tu y penses, tout de suite, tu ressors cette relation barycentrique de ton cours et qui est très très utile puisqu’elle simplifie vraiment beaucoup cette somme vectorielle et en un seul vecteur puisque c’est le vecteur MG à un seul facteur multiplicatif près qui est la somme des poids en fait. Et une fois que tu as ceci, tu mets la norme autour de ce vecteur là et tu obtient une relation très très simple qui te permet pour le coup de déterminer l’ensemble des points M.