1ère S Coordonnées de l’orthocentre d’un triangle

Vidéo orthocentre triangle

Dans cette vidéo de Maths, je t’explique comment trouver les coordonnées de l’orthocentre du triangle ABC (point de concours des hauteurs) quand tu connais les coordonnées des 3 sommets du triangle.

N’oublie pas une chose important, ce conseil est crucial et devrait rester gravé dans ta mémoire : en Maths, dès que tu peux faire, fais un dessin ! Autrement dit, puisqu’on a les coordonnées des sommets de notre triangle ici, plaçons ces points dans un repère orthonormal puis dessinons le triangle, ça mange pas de pain 😉 !

Comment va-t-on déterminer les coordonnées de l’orthocentre de ce triangle ?

Nous allons d’abord rechercher les équations des droites hauteurs dans ce triangle. Eh oui ! Car l’orthocentre est le point d’intersection des trois hauteurs d’un triangle. Nous n’allons déterminer les équations que de deux hauteurs, car cela suffit pour déterminer l’orthocentre.

Comment déterminer l’équation cartésienne de la hauteur dans un triangle ?

Nous connaissons les coordonnées des sommets qui forment ce triangle. La hauteur passant par A est la droite passant par A qui coupe le côté opposé, ici BC, perpendiculairement. Autrement dit, cette hauteur et la droite (BC) sont perpendiculaires.

Nous allons exprimer l’orthogonalité de ces deux droites par un simple produit scalaire nul. Rappelle-toi de cette technique, on utilise très souvent un produit scalaire nul quand on recherche une équation cartésienne à partir de droites perpendiculaires ou de vecteurs orthogonaux. (en fait, dès que des droites sont perpendiculaires, les vecteurs directeurs de ces deux droites sont orthogonaux, et les vecteurs normaux aussi 😉 , ça va ? Tu ne t’embrouilles pas ? ).

Donc, on note un point M (x ; y) de la hauteur du triangle passant par A. Ce point M est caractérisé par le produit scalaire des 2 vecteurs AM et BC égal à 0.

Système linéaire d’équations à deux inconnues

C’est ainsi que, répétant l’opération pour une 2ème hauteur (au choix), tu obtiens deux équations de droites. Ces équations sont bien sûr les équations des hauteurs.

Que te reste-t-il à faire pour trouver les coordonnées de l’orthocentre ? Tout simplement trouver le point d’intersection de ces deux droites. Et comment trouve-t-on le point d’intersection de deux droites ? Cela revient à résoudre le système d’équations formé par les équations de ces droites.

C’est le système que nous résolvons en deuxième partie d’exercice. Plutôt que de procéder par substitution, nous avançons en utilisant une combinaison de nos deux lignes (après une légère modification de la 2nde).

L’orthocentre est l’un des sommets

Chose étonnante, nous trouvons que H, l’orthocentre de notre triangle ABC, est égal au sommet B ! Cela signifie que (AB) est la hauteur du triangle passant par A, et donc que le triangle est rectangle en B.

C’est une façon compliquée de montrer que le triangle est rectangle 😉 ! Si tu avais voulu démontrer cela (car tu l’avais sans doute conjecturé en dessinnant ton triangle), tu aurais pu calculer la distance entre deux points de ton triangle (il y a une formule pour ça) et utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. Mais ce n’était pas le but de l’exercice.

Si tu as des questions, n’hésite pas à poster un commentaire !

A Lundi !

Romain

Transcription texte de la vidéo Montrer

23 Comments

  • Adeline joly

    Reply Reply 5 octobre 2011

    Très bien expliqué, j’ai tout compris également. Merciii 😀

  • Minet

    Reply Reply 21 novembre 2011

    bonsoir alors moi j’ai un DM de ce genre sauf que j’ai comme equation :
    4x-4xd=0
    et x(xd-4)+3y =0
    comment dois-je faire ? :)

    • Elodie

      Reply Reply 21 novembre 2011

      Enfait voila j’ai déjà réussi a déterminer les équations 😉 mais ce genre d’équation je ne peux les résoudre ? je suis vraiment désolée de vous embêter ^^

      • Romain

        Reply Reply 22 novembre 2011

        Hello Elodie,

        Je ne comprends pas ta question :/ 😉 ?

        Romain

  • Elodie

    Reply Reply 21 novembre 2011

    Enfait voila j’ai déjà réussi a déterminer les équations 😉 mais ce genre d’équation je ne peux les résoudre ?

  • ezzaim

    Reply Reply 26 décembre 2011

    merci pour les cours

  • lyes

    Reply Reply 5 février 2012

    C’est vraiment genial ce que tu fais !! 😀

  • Thibault

    Reply Reply 15 mars 2012

    Whoua merci tu gères :) !

  • Pierre

    Reply Reply 10 mai 2012

    Merci beaucoup cela vient de me sauver !

  • Charlotte

    Reply Reply 17 mai 2012

    Bonjour!
    J’ai un devoir de géométrie et je ne parviens pas à le résoudre.
    En fait, je dois trouver les coordonnées de l’orthocentre O du triangle abc sachant que les sommets du triangles ont pour coordonnées a(3,-3), b(-1,3) et c(-4,-3). Je l’ai déjà fait graphiquement mais il m’est impossible de le résoudre algébriquement.
    J’ai déjà cherché partout sans satisfaction et je ne comprends pas vos explications.
    Merci d’avance!

    • Romain

      Reply Reply 20 mai 2012

      Bonjour Charlotte, as-tu essayé d’exprimer que des vecteurs sont orthogonaux en utilisant un produit scalaire égal à 0 ?

  • Carla

    Reply Reply 22 mai 2012

    Excellent , merci

  • fofana

    Reply Reply 3 septembre 2012

    bonjour romain il ya une partie dans ta video que je nai pas compris c’est a partir des deux 2 equations je nai pas compris comment tas proceder a la resolution

  • fofana

    Reply Reply 7 septembre 2012

    jai vraiment compris merci beaucoup mais jaimerai te demander est ce que tas une video ou tu explique une suite par recurrence,lhèredité, et initialization cest dans mon programme en teminale s je nai pas compris

    • fofana

      Reply Reply 9 septembre 2012

      salut romain je voudrai savoir est ce que ta cette video dont je tai parler recurrrence heredité initialisation pour le programme de terminale s

  • Sandra

    Reply Reply 26 avril 2013

    Bonjour,
    J’ai essayé, le problème c’est que je n’arrive pas à obtenir une équation sans y
    Voilà les coordonnées A(0;3) , B (-1;0) et C (4;0)
    Quelles sont les deux équations que je dois obtenir ?
    Je vous remercie d’avance ,

  • Lolo

    Reply Reply 29 mai 2013

    Génial comme rappel, très bien fait !
    Merci ^^

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