1ère S Coordonnées de l’orthocentre d’un triangle

1ère S Orthocentre d’un triangle

Comment déterminer les coordonnées de l’orthocentre d’un triangle quand on connaît les coordonnées de chacun de ses trois points?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui dans l’exercice, nous devons trouver les coordonnées de l’orthocentre H du triangle ABC, sachant que l’on connaît les coordonnées de A(-4 ;-2), B(0 ;6) et C(8 ;-2).

Alors, la première chose que nous allons faire, c’est nous rappeler ce qu’est l’orthocentre d’un triangle ABC. L’orthocentre, rappelles-toi, c’est le point de concours des hauteurs.

Alors, première chose à faire c’est de placer les points A,B et C dans un repère orthonormal.

Donc après avoir tracé la figure, comment trouver les coordonnées de l’orthocentre que l’on nomme H du triangle ABC ? Alors ce que l’on va faire c’est de tracer la hauteur passant par B et qui est perpendiculaire à la droite AC, puisque c’est une hauteur.

Voilà. Donc si je prends maintenant un point M de la hauteur…Comment caractériser le fait que ce point M, de coordonnées (X,Y), appartient à cette hauteur ?

Nous allons traduire le fait que le point M est sur la hauteur ici en bleu en disant que

<calcul mathématique>

Alors pourquoi utiliser le produit scalaire de deux vecteurs ? Et bien c’est très intéressant dans le sens où on a les coodonnées des points B, M, A et C. Et donc le produit scalaire de deux vecteurs s’écrit en fonction des coordonnées de chacun des deux vecteurs, puisque

<calcul mathématique>

Donc ça, c’était juste un rappel de cours que l’on va mettre en pratique ici :

<calcul mathématique>

Alors, une fois que l’on a dit tout cela, que l’on a traduit de façon analytique – analytique rappelles-toi c’est toujours en utilisant les coordonnées des points en occurrence – alors sachant que, je te le rappelles, X et Y sont les coordonnées du point M appartenant à cette hauteur, alors on va un petit peu plus loin, on va nettoyer cette équation :

<calcul mathématique>

Donc ceci, c’est une première équation que l’on obtient. Est-ce que pour autant, on peut déterminer les coordonnées de l’orthocentre H à partir d’une seule équation avec deux inconnues ? Non. En fait, il nous en faut une deuxième. Et comment obtenir une deuxième équation ?

Et bien pour ce faire, tu traduis tout simplement le fait que l’orthocentre H est le point de concours de plusieurs hauteurs – d’au moins deux hauteurs.

Donc ce que l’on va faire, c’est qu’on va tout simplement traduire le fait que la hauteur passant par A, ici, et perpendiculaire à la droite BC…

Alors comment va-t-on traduire, tout simplement, que la droite ici est une hauteur du triangle ABC passant par A ? Et bien tout simplement si tu reprends un point M de cette droite-ci, il va tout simplement s’agir d’écrire que :

<calcul mathématique>

Donc de la même façon qu’auparavant, nous allons traduire cela de façon analytique.

<calcul mathématique>

Donc voici la deuxième déduction. Donc, on obtient deux équations.

Alors comment trouver – rappelles-toi de ce qu’est la question – les coordonnées de l’orthocentre H, qui est le point de concours des hauteurs du triangle ABC.

En fait, on a les équations des deux hauteurs, celle passant par B et celle passant par A. Comment trouver les coordonnées de l’orthocentre ? Et bien l’orthocentre est le point de concours de ces deux droites-là. Donc en fait, il faut que ces droites-là s’intersectent afin de trouver les coordonnées du point de concours, l’orthocentre.

Donc tout cela revient en fait à résoudre le système d’équation avec cette première équation-là et cette deuxième équation-là.

Pour résoudre ce système d’équation, on peut procéder soit par substitution ou soit par combinaison afin de trouver la solution. Ici, en fait, on va procéder par combinaison en simplifiant la ligne 2, puisque la ligne 2 peut se diviser par deux :

<calcul mathématique>

Et ensuite, on va faire (1) – (2) :

<calcul mathématique>

Donc ici j’encadre le résultat partiel – toujours encadrer les résultats partiels, cela te permet de te repérer très facilement dans ce que tu viens de résoudre.

<calcul mathématique>

Donc l’orthocentre H, on a trouvé que ses coordonnées sont (0,6), d’accord ? Et si tu regardes bien, (0 ;6) sont les coordonnées du point B. Qu’est-ce que cela veut dire ? Et bien cela veut dire que AB, ici, est la hauteur passant par A du triangle ABC. Et aussi on vient de démontrer quelque part, que le triangle ABC est rectangle en B.

Voilà pour cet exercice !