1ère S Définition analytique d’une transformation du plan

Définition analytique d'une transformation du plan

SUITE ici :

Dans cet exercice de mathématiques corrigé en vidéo, nous allons chercher la nature de la transformation dans le plan décrite par cette formulation analytique. Est-ce une translation ? Est-ce une homothétie, une rotation, une symétrie axiale, ou une symétrie centrale ? Nous allons voir cela ensemble.

Définition analytique d’une transformation dans le plan

« Analytique », souviens-toi, en Maths, cela signifie « qui fait intervenir les coordonnées x et y ».

Que sont x’ et y’ ? Il s’agit des coordonnées du point M’, transformé du point M (x ; y) par la transformation du plan considérée. x’ et y’ s’expriment donc en fonction des coordonnées x et y du point M : quoi de plus logique 😉 ? Les « nouvelles » coordonnées (celles de M’) s’expriment en fonction des « anciennes » coordonnées (celles de M).

Recherche d’un point fixe

Un point fixe d’une transformation est un point qui n’est PAS transformé par elle en un point différent ! Il RESTE lui-même par l’application de cette transformation.

S’il existe un tel point invariant (qui « ne varie pas », il est « fixe »), alors x’ = x et y’ = y, c’est-à-dire que les coordonnées du point transformé M’ sont les mêmes que celles du point à transformer M, autrement dit M’ = M.

C’est la première chose que l’on peut rechercher à partir de la définition analytique de notre transformation donnée comme hypothèse dans l’énoncé de l’exercice.

Cherchons donc les coordonnées d’un tel point fixe si elles existent en résolvant le système d’équations x’ = x et y’ = y. Nous en trouvons un ! Cela écarte donc les transformations qui n’ont pas de point(s) fixe(s) comme la translation par un vecteur non nul par exemple. Puisqu’il n’y a qu’UN SEUL point fixe, il ne peut pas s’agir d’une symétrie axiale (réflexion) dont les points fixes existent en nombre infini sur l’axe de symétrie.

Notre transformation POURRAIT donc être l’une de ces transformations dans le plan bien connues comme une rotation, une symétrie centrale, une homothétie… etc

Notons ce point fixe O. Cherchons maintenant à comparer le vecteur initial et le vecteur final, à savoir les vecteurs OM et OM’

Tu vas avoir une surprise 😉 ! Car, ne pressens-tu pas que notre transformation « sent bon » l’homothétie ? Dans la définition analytique, nous voyons par exemple que x’ dépend de x par le coefficient multiplicateur -4 à une constante près, de même pour y’ par rapport à y.

Si nous arrivons à trouver un rapport k (ce nombre réel ne serait-il pas -4 par hasard 😉 ? ) tel que le vecteur OM’ est égal à k multiplié par le vecteur OM, on aura bien prouvé que notre transformation est une homothétie.

Faisons donc un rappel de cours.

Définition d’une homothétie

Vectoriellement, cela revient à la relation vectorielle rappelée ci-dessus. Traduisons cela en terme de coordonnées, c’est ce que je te montre dans la vidéo.

Et c’est là l’un des aspects magiques des mathématiques, il s’agit d’avoir cette intuition qui me dit « Tiens tiens, cette transformation ressemble beaucoup à une homothétie » ; une fois que nous avons l’intuition de cela, cherchons à faire apparaître un « k » dans la définition analytique, en nous conformant à la relation vectorielle d’une homothétie de centre O.

As-tu compris comment nous avons résolu cet exercice pas facile à cause de sa question ouverte ? On ne te demande pas de « Démontrer cela », on ne te demande pas seulement le « comment », mais aussi le « quoi » : ici la nature cette transformation, « quelle » est-elle.

Transcription texte de la vidéo Montrer

3 Comments

  • Rim

    Reply Reply 18 mai 2011

    Bonjour Romain je tiens tout d’abord a te remercier pour tes vidéos et tes cours ça m’aident vraiment :D!
    Je passe mon dernier contrôle de l’année mardi prochain et je dois impérativement avoir une bonne note. Est ce que ça serait possible de m’envoyer ou de publier des exercices ciblés sur les transformations et produit scalaire et ses applications!
    Merciiii d’avance 😀
    PS:(je suis en 1 ere S)

  • Rim

    Reply Reply 21 mai 2011

    Merciii beaucoup je viens de voir ta vidéo!! :)

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