1ère S Démontrer que 2 droites sont parallèles et homothétie

Démontrer que deux droites sont parallèles

Dans cet exercice de mathématiques corrigé en vidéo, nous allons prouver que deux droites sont parallèles grâce à une homothétie bien choisie. Nous aurions pu le démontrer que ces 2 droites sont parallèles en utilisant deux vecteurs colinéaires, ou encore la réciproque du théorème de Thalès.

Propriété d’une homothétie

Cette manière de résoudre l’exercice de maths proposé peut te sembler difficile. Mais c’est très commode car une homothétie transforme un vecteur en un vecteur colinéaire au premier. Et tu sais bien que deux vecteurs colinéaires annoncent deux droites parallèles (celles qui « portent » les vecteurs).

Cette propriété d’une homothétie qui dit qu’elle transforme un vecteur en un vecteur colinéaire au premier provient de sa définition. Je te fais ce rappel de cours en noir dans la vidéo.

On a l’idée saugrenue d’introduire une homothétie du plan car les relations vectorielles données dans l’énoncé de l’exercice nous y font penser ! Tout simplement.

Réciproque du théorème de Thalès

Tu aurais pu utiliser ces relations de vecteurs autrement : en en prenant la norme par exemple, comme indiqué sur la figure, tu aurais retrouvé une égalité de rapport typique du théorème de Thalès. Et, en appliquant la réciproque du théorème de Thalès, tu aurais pu prouver que les deux droites sont parallèles.

Vecteurs colinéaires

Pour aller plus vite encore, tu aurais même pu montrer que les vecteurs IC et BJ sont colinéaires en partant des relations vectorielles. Donc, en fait, ne t’encombrer ni d’une homothétie, ni de la réciproque du théorème de Thalès !

Eh oui, c’est comme ça les Maths, le chemin que tu trouves pour arriver à destination peut soit être long et fastidieux, soit être court tout en restant valide. L’important est de parvenir au résultat 😉

Romain

Transcription texte de la vidéo Montrer

4 Comments

  • Romain

    Reply Reply 28 mai 2011

    Salut
    Le théorême des milieux sa marche aussi non?

    • Romain

      Reply Reply 28 mai 2011

      Oui, tout à fait 😉 !

      C’était pour illustrer une utilisation possible d’une homothétie avant tout…
      D’emblée, j’aurais pensé à la réciproque du théorème de Thalès!

      Merci pour ta remarque

      Romain

  • Samy

    Reply Reply 30 septembre 2011

    salut Romain ! pourrais-tu me rappeler brièvement ce qu’est une homothétie car on vient à peine commencer le chapitre sur les vecteurs colinéaires, équations cartésienne set décomposition d’un vecteur…et j’aimerais avoir de l’avance sur les autres car mon début de première S n’est pas terrible :s !

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