1ère S Ensemble de points et parallélogramme

Ensemble de points, norme d'une somme de vecteurs

Dans cette vidéo de mathématique, nous devons déterminer l’ensemble des points M tel qu’ils satisfont une relation « en longueur », c’est-à-dire avec des normes de vecteurs.

Ensemble de points et barycentre ?

Ce genre d’exercice fait très souvent appel soit à une relation barycentrique (voir les vidéos sur le barycentre), soit à une propriété géométrique simple. Et ici, c’est le 2nd cas qui s’applique puisque nous allons utiliser une propriété du parallélogramme pour déterminer notre ensemble de points M.

Pas de coordonnées ici, il va donc falloir caractériser notre ensemble autrement, en fait de « façon géométrique » !

Vecteurs et parallélogramme

Pour ce faire, simplifions notre relation. On remarque une somme de vecteurs typique d’un parallélogramme, à savoir la somme des vecteurs MB et MC. Pourquoi ne pas dessiner ce parallélogramme à partir des trois points M, B et C ? Tu vas constater que cela débloque la situation 😉 !

Ce dessin, je le fais à droite ne plaçant arbitrairement les points M, B et C, de façon à bien te montrer que la somme des deux vecteurs MB et MC donne tout le temps le même résultat.

Quelque part, l’exercice nous aide puisqu’on nous évoque le milieu de [BC] dans l’énoncé, noté I. Et dans un parallélogramme forgé à partir de la somme des deux vecteurs MB et MC, I devient le centre de ce parallélogramme, à savoir le milieu des diagonales, ou le point d’intersection des diagonales…

Puisqu’il faut prendre la norme du vecteur, alors on obtient une relation super simple : MI = MA ! Et là, c’est fini.

Médiatrice, plan médiateur

En 2D, dans le plan donc, cela nous donne un ensemble de points M égal à la médiatrice du segment [AI].
En 3D, dans l’espace, le résultat est le plan médiateur entre les 2 points A et I, à savoir le plan qui coupe la droite (AI) au milieu du segment [AI] et lui est orthogonale…

Tu comprends ?

Poste un commentaire si jamais un doute subsiste !

Romain

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