1ère S Ensemble de points et parallélogramme

Comment déterminer un ensemble de points M à partir d’une relation vectorielle avec des normes de vecteurs ?

Bonjour et bienvenue sur star en maths TV ! Aujourd’hui, dans cet exercice, nous avons un triangle ABC, et I est noté comme étant le point milieu du segment [BC]. On doit déterminer l’ensemble des points M tel que (relation vectorielle avec une somme de vecteurs et de normes de vecteurs).

Alors, premièrement, il ne va pas être histoire ici de coordonnées de points ou de vecteurs puisqu’on a les coordonnées de rien du tout. Donc, en fait, on va déterminer l’ensemble de ces points M ici d’une autre façon. Alors, déjà, aussi, ce qu’on peut faire, c’est une figure, puisqu’on a un triangle ABC, apparemment quelconque, on ne sait pas comment placer les points A,B et C les uns par rapport aux autres puisqu’on n’a pas leurs coordonnées.

Donc, dessinons simplement un triangle ABC. Alors, souvent, quand on veut dessiner un triangle que l’on veut quelconque, il se trouve qu’il ressemble souvent à un triangle isocèle ou à un triangle équilatéral. Et, ici, il se trouve que c’est un triangle un peu isocèle, ce n’est pas un triangle si quelconque que ça, mais ce n’est pas très grave. On va continuer quand même avec ça.

On va placer le milieu du segment [BC] noté I pour compléter la figure. Et tu peux noter ici que les longueurs IC et IB sont égales.

Donc, ensuite, on doit déterminer l’ensemble des points M tel qu’on ait cette relation vectorielle ici. Alors, ne va surtout pas m’écrire : la norme de la somme des deux vecteurs MB et MC est égal à la norme du vecteur MB plus la norme du vecteur MC. Cela n’est pas juste.

Par contre, ce que l’on sait au niveau de cette somme vectorielle ici, sans même parler de la norme, c’est que si tu as trois points, je le positionne ici pour l’exemple, je les ai placés arbitrairement, c’est vraiment pour l’exemple que je te dessine cela, alors la somme vectorielle MB plus MC, en partant de M, te donne le quatrième sommet du parallélogramme MBKC.

Au fait, notre relation vectorielle est équivalente à, en passant un demi de l’autre côté, c’est-à-dire en multipliant par deux à gauche et à droite (nouvelle relation vectorielle).

Si tu notes I le milieu du segment [MK], tu as la somme vectorielle des deux vecteurs MB et MC qui est égal à deux fois le vecteur MI. Et ceci, quelles que soient les positions des trois point B,C et M ! Ce n’est pas pour rien que j’ai introduit le point I, car il nous était donné dans l’énoncé de l’exercice comme étant le milieu du segment [BC].

D’une façon générale, si tu as trois points qui sont placés n’importe où dans l’espace, alors la somme des deux vecteurs MB et MC est égale à deux fois le vecteur MI, où I et le milieu du segment [BC].

Donc, nous allons remplacer cette somme vectorielle par 2 MI ! Et, tu vas voir que ça va considérablement changer les choses. Cela va simplifier beaucoup notre relation vectorielle.

Je réécris notre relation vectorielle juste en dessous de la figure. Et ceci nous venons de le déterminer, le membre de gauche de l’égalité est égal, en norme à (calcul vectoriel).

Je te fais un rappel de cours en bas à droite en noir : si U est un vecteur, si k est un nombre réel quelconque, alors kU est aussi un vecteur, et, si tu prends la norme de tout ce vecteur, elle vaut valeur absolue du nombre réel k multipliée par la norme du vecteur U.

voilà pour ce rappel.

Dans notre cas, on obtient deux fois la longueur MI. On obtient une égalité très simple. En simplifiant par deux à gauche et à droite, tu obtiens MA égal à MI.

Et cette relation, elle caractérise dans le plan 2D la médiatrice du segment [AI]. Et, dans l’espace, elle caractérise le plan médiateur situé entre les points A et I. d’accord ?

Donc, en fait, sur notre schéma ici, puisque j’ai considéré que nos points étaient dans un plan 2D, mais ceci est aussi valable dans l’espace, en fait, tout ce qu’on a fait est aussi valable dans l’espace, en trois dimensions donc : sur le schéma, je vais te faire visualiser ça en te disant qu’en fait (après avoir placé le point milieu du segment [AI]), l’ensemble des points recherchés M correspond à la médiatrice du segment [AI]. La médiatrice, c’est la droite qui coupe le segment [AI] en son milieu avec un angle droit, et ça, c’est l’ensemble des points M. M peut être n’importe où sur cette droite-là, et ça satisfait notre relation vectorielle dans notre exercice de Maths.

Donc, la méthode générale pour déterminer l’ensemble des points M quand tu as une relation qui n’est pas vectorielle, mais qui est une relation en longueur, plutôt en norme de vecteurs, c’est de remplacer une somme compliquée de vecteurs par un vecteur beaucoup plus simple. Et ici, c’est assez simple, puisque quand tu as la somme de vecteurs MB plus MC, pense à un parallélogramme en fait. Et, quand tu as dessiné ce parallélogramme, comme on l’a fait ici, la somme vectorielle correspond à la diagonale de ce parallélogramme. Ici on a introduit le milieu de cette diagonale I, parce qu’on nous en parlait dans l’énoncé de l’exercice.

Donc la fameuse somme vectorielle de notre exercice correspond au vecteur diagonal de notre parallélogramme. À savoir, deux fois la norme du vecteur MI, avec le point I étant le milieu de notre parallélogramme.

Cela simplifiait considérablement notre relation. Dans le cas particulier de notre exercice, la relation obtenue caractérise la médiatrice du segment [AI], en tout cas en deux dimensions. Et, dans l’espace, l’ensemble des points recherchés M correspond au plan médiateur du segment [AI]. Donc, ce plan est le plan qui passe au milieu de notre segment [AI], et qui coupe la droite (AI) perpendiculairement. Cela signifie que, si tu prends n’importe quel point M de la médiatrice en deux dimensions, ou du plan médiateur en trois dimensions, la distance AM et la distance MI sont égales. En fait, le point M est à égale distance du point A et du point I.