1ère S Equation de cercle, produit scalaire

cercle circonscrit à un triangle rectangle

Quel est le lien entre les deux ? Dans cette vidéo, je te montre comment trouver l’équation d’un cercle à partir de deux points du cercle formant l’un de ses diamètres, et tout cela en utilisant le produit scalaire ! Oui Mesdames Messieurs, c’est possible 😉 !

Dans une autre vidéo, je te montrais comment déterminer l’équation de ce cercle en connaissant la forme générale d’une équation cartésienne de cercle. Il te suffisait de calculer les coordonnées du milieu du segment [AB] puis de calculer la distance entre les deux points A et B pour avoir la longueur du diamètre [AB], et donc son rayon (c’est la moitié du diamètre bien sûr).

Aujourd’hui, dans cette vidéo, il s’agit de trouver une équation du cercle, oui toujours, mais on va utiliser une autre technique.

L’importance de faire un dessin

Ici, je ne vais pas t’apprendre comment faire un dessin, non, nous traçons immédiatement un repère orthonormé et nous y plaçons nos deux points A et B vu que l’on connaît leurs coordonnées.

Une propriété du cercle circonscrit au trangle rectangle de diamètre [AB]

Et maintenant, une propriété méconnue par les élèves, mais toi, je suis sûr que tu la connais 😉 !

En prenant un point M de coordonnées x et y du cercle, tu obtiens un triangle ABM (ou BMA, ou AMB, comme tu veux… ). Surtout, ce qui est intéressant est que ce triangle est rectangle !

Il y a un théorème qui dit que si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.
Réciproquement, si l’un des côtés d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle (le diamètre du cercle circonscrit est alors son hypoténuse).

Pour plus détails à ce sujet, regarde ici, il s’agit normalement d’un théorème vu en cinquième ou quatrième 😉 .

Equation de cercle

Enfin, pour avancer dans la résolution de l’exercice et trouver une équation cartésienne du cercle, nous allons exploiter la réciproque de ce théorème.

Nous prenons un point M du cercle et nous notons ses coordonnées x et y. Comment caractériser le fait qu’il appartient au cercle ? Considérons le triangle ABM : son cercle circonscrit est le cercle que nous étudions depuis le début de l’exercice. [AB] est un diamètre de ce cercle. Donc, d’après la réciproque du théorème ci-dessus, le triangle est rectangle en M.

Vu que l’on connaît les coordonnées de A et B, il est commode de faire entrer en scène la notion de produit scalaire de deux vecteurs ! Ce qu’on obtient est tout simple : les vecteurs MB et MA sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul.

Il s’agit d’utiliser la définition analytique du produit scalaire de deux vecteurs. Après avoir écrit les coordonnées des vecteurs MB et MA, dans la vidéo, tu vois bien que je les multiplie deux à deux, que j’ajoute les produits et que j’écris que ça nous fait zéro !

Et c’est presque fini ! Tu pourrais presque t’arrêter là. Mais nous, nous allons développer et ordonner l’expression.

Pas trop compliqué ? Oui, j’ai peut-être réveillé un souvenir enfoui dans ta mémoire, ce fameux théorème (et sa réciproque) du cercle circonscrit à un triangle rectangle.

Romain

Transcription texte de la vidéo Montrer

6 Comments

  • Selena

    Reply Reply 24 mai 2012

    Vraiment super ta vidéo ça aide baucoup j’ai un contrôle demain et j’ai enfin compris! Merci:)!

  • Antoine

    Reply Reply 23 mars 2013

    Merci pour ton aide je viens de comprendre cependant je n’ai toujours pas compris comme passer de l’équation cartésienne x²+y²-5x-5y+6=0 a la forme (x-xa)²+(y-ya)²=0 ?

    • Romain

      Reply Reply 1 avril 2013

      Merci de ton message Antoine ^^ !

      Il faut utiliser une identité remarquable. x²-5x est le début de (x-5/2)² … x²-5x = (x-5/2)² MOINs un truc, trouve ce « truc » ; )
      Fais pareil avec les « y » …
      Romain

  • Meriem

    Reply Reply 21 avril 2013

    Bonsoir Romain,
    ça fait depuis peu de temps que je suis tes vidéos notamment pour le produit scalaire afin d’augmenter ma moyenne et j’ai eu un contrôle jeudi que j’ai horriblement raté (je ne sais pas pourquoi d’ailleurs peut-être que j’ai perdu mes moyens devant la copie). Mais bon, je dois rendre un devoir maison dans 2 semaines et je voudrais bien de ton aide si c’es possible afin d’arranger au peu la catastrophe .
    Merci d’avance et désolé du dérangement mais je culpabilise!

  • Rithy

    Reply Reply 24 mai 2015

    Bonjour,
    On peut aussi calculer les coordonnées du centre I de [AB] puis calculer la norme du rayon [IA] ou [IB] pour ensuite établir l’équation cartésienne du cercle non ?

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