1ère S Equation de cylindre

équation cylindre

SUITE et FIN :

Dans cet exercice de mathématiques, géométrie dans l’espace, vidéo corrigé, il s’agit de chercher l’équation d’un cylindre de révolution d’axe y (axe des ordonnées, et non pas axe désordonné 😉 ).

La seule et unique chose à faire dans cet exercice est de calculer le rayon dy cylindre. Avant toute chose, bien sûr, dessinons une figure 3D, sachant que les coordonnées de notre point P ne sont pas trop alambiquées. Il te faut connaître ton cours également, car sinon, point de forme générale d’équation cartésienne d’un cylindre de révolution d’axe y ! Pour rappel, la voici : x² + z² = R², où R est le rayon du cylindre.

Rayon du cylindre

Le rayon dy cylindre n’est autre que le rayon de n’importe quel cercle obtenu par intersection entre un plan perpendiculaire à l’axe de symétrie de révolution du cylindre (ici l’axe des ordonnées) et du cylindre lui-même. Sur le dessin 3D que je te propose, j’ai dessiné rapidement deux de ces cercles.

Pour obtenir le rayon du cylindre, choisissons le bon cercle duquel nous allons calculer le rayon. Ce cercle sera le cercle passant par P, et de centre le projeté orthogonal de P sur la l’axe des ordonnées. Mais comment déterminer les coordonnées de P’, ce fameux projeté orthogonal ?

Nous pourrions mettre en oeuvre notre connaissance du produit scalaire de deux vecteurs pour déterminer ses coordonnées de façon détaillée (et donc parfaitement démontrée), mais, dans un souci d’efficacité, annulons (sorte de « reset ») 2 des 3 coordonnées de P pour obtenir celles de P’ ! Eh oui, la projection orthogonale sur l’un des 3 axes d’un repère orthonormé est une transformation relativement simple…

Calculer la distance entre P et P’

… pour obtenir le rayon du cercle, ledit cercle passant par P, de centre P’, et inclus dans le plan d’équation y = 5. Connais-tu la formule de cours pour calculer la distance entre deux points dans le plan ou dans l’espace (il s’agit juste d’ajuster le nombre de dimensions considérées) ?

C’est terminé ! Il te suffit de remplacer « R² » par la valeur du rayon au carré calculée, puis c’est terminé, tu obtiens ton équation cartésienne de cylindre.

Pas trop compliqué une fois qu’on a compris le truc 😉 ?

Romain

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