1ère S Equation trigo

Bonjour à toi et bienvenue sur le blog Star en Maths TV. Aujourd’hui nous allons résoudre une équation à base de fonction trigonométrique :

<calcul mathématique>

Alors ça parait être une équation toute simple, mais au premier abord est-ce que tu vois comment on peut résoudre une telle équation? En fait ce que je te recommande de faire, c’est de changer cosinus x en un sinus de quelque chose. Comme ça on aura sinus de quelque chose de ce quelque chose = sinus x.

Alors pour ce faire tu peux savoir déjà que :

<calcul mathématique>

Alors ça soit tu le sais de base ou soit tu peux t’en rendre compte en traçant un cercle trigonométrique.

<cercle trigo>

Si tu prend un angle X, et bien essayons de placer l’angle pi sur 2 moins X. Voilà, c’est une façon visuelle de te montrer que :

<calcul mathématique>

En effet, puisque si tu prends cosinus X, qui est la longueur entre l’origine et ce point jaune-là – c’est-à-dire dans ce triangle rectangle ici. Et sinus de pi sur 2 moins x, et bien c’est cette longueur-là.

Et donc tu admettras volontiers que dans ce cercle-là,

<calcul mathématique>

Si tu n’es pas convaincu par cette petite démonstration « intuitive », et bien il te faut revenir à la formule sinus de a – b :

<calcul mathématique>

Et donc on a démontré cette relation-là. Voilà.

Donc une fois que tu as démontré cette relation-là, tu peux tout à fait revenir à ton équation de départ et transformer le cosinus x en un sinus de pi sur 2 moins x.

Donc, sur ta copie tu mettrais :

<calcul mathématique>

Voilà! C’est maintenant une équation beaucoup plus facile à résoudre, puisque tu sais que deux sinus sont égaux quand ce qui est à l’intérieur des sinus sont égaux ou, tu vas voir,

<calcul mathématique>

D’où cela vient-il? Et bien normalement si tu connais bien ton cours, c’est une solution que tu ne devrais pas oublier. Si tu traces un cercle trigonométrique une nouvelle fois, et bien tu te rends compte que si je prends un angle alpha, son sinus est cette longueur-là. Mais si je prends l’angle ici, qui est cet angle-là, ça c’est pi moins alpha. C’est-à-dire que j’ai pris le demi-tour – tout cet angle-là – et j’ai enlevé alpha. Tu remarques que son sinus est aussi cette longueur-là.

Donc en fait le sinus de pi moins alpha est égal au sinus d’alpha.

Et en fait on retrouve cette égalité ici. C’est vraiment une solution à ne jamais oublier. Donc en continuant le calcul on obtient :

<calcul mathématique>

Ou, si tu regardes ce deuxième cas tu remarques que les x s’annulent. Et si tu vas un petit peu plus loin, tu retrouves :

<calcul mathématique>

En fait on arrive à quelque chose d’impossible. Donc ceci ne mène à rien, mais malgré tout il ne fallait pas l’oublier, parce que cela aurait pu mener à quelque chose.

Donc on obtient ça et, en divisant à gauche et à droite par moins 2 pour avoir x = quelque chose, c’est-à-dire trouver notre solution ou nos solutions x = quelque chose, tout ceci est équivalent à :

<calcul mathématique>

Puisque K appartient à Z, si tu prends K = 2 tu peux prendre aussi K = -2, donc tu peux mettre un plus ici, c’est plus commode.

On obtient donc cette solution-là. Voilà!

La philosophie de l’exercice c’était qu’il fallait transformer cette équation-là de façon à obtenir un cas que tu peux résoudre, une équation plus simple – c’est-à-dire sinus de quelque chose est égal au sinus de x. Parce que cosinus de x = sinus x, au premier abord c’est quelque chose que tu n’arriveras pas à résoudre. Donc il fallait penser à transformer notre cosinus en un sinus.

Tu aurais pu aussi procéder de façon inverse, c’est-à-dire transformer le sinus x en un cosinus de quelque chose.