1ère S Explication du nombre dérivé d’une fonction en un point donné

Dans cet exercice de maths gratuit en vidéo, nous allons expliquer ce que veut dire un nombre dérivé graphiquement.

Transcription texte de la vidéo Montrer

Nombre dérivé d’une fonction en un point donné

Dans les chapitres sur les fonctions, qu’est-ce qu’un nombre dérivé?

Musique intro

Bonjour à toi et bienvenue à cette vidéo de Stars en Maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors, dans cette vidéo nous allons expliquer ce qu’est un nombre dérivé. On parle souvent d’un nombre dérivé d’une fonction en un point a et c’est noté f'(a) comme tu le vois en bleu ici.
Donc nous allons dans un premier temps essayer de comprendre ensemble ce qu’est c’est la formule, qui est à la base du nombre dérivé de f(a)

Tu te souviens de la formule avec la limite que tu as dû voir dans le cours, de la fameuse limite , quand h tend vers 0 ou quand x tend vers a, ça dépend de la notation.
Et ensuite nous allons faire un petit dessin pour essayer de comprendre graphiquement ce que le nombre dérivé veut dire.

Juste avant de commencer, pour info. Cette vidéo est un enregistrement de séance que j’ai avec mes élèves, donc c’est pour ça que j’utilise le vouvoiement. J’espère que ça ne te perturbera pas trop puisque dans mes autres vidéos d’habitude j’utilise le tutoiement.

Donc, imaginez que vous ayez une fonction, votre f(x), vous l’avez par le calcul, imaginez que ça vous donne une courbe comme ça, ou peu importe. Voilà, ça va d’ailleurs répondre un petit peu à la question de Gregory aussi…Vous avez votre origine, voilà.
Ca c’est votre courbe de f. Et vous souhaitez, vous avez aussi son expression en fonction de x, f(X)= formule>, d’accord?, ce genre de truc. Toi, tu ne sais pas du tout, si tu n’as pas le graphique de la fonction, quelle sont les variations de la fonction. Voilà, tu vois? Tu ne sais pas du tout.

Donc pour les avoir tu vas calculer f'(x). F'(x), qu’est-ce que sais? je rappelle que c’est une fonction. f'(x) c’est un nombre.

Imaginons que je prend un nombre, x, par exemple. Voilà, je le mets là. Donc tu es d’accord que moi, je pense Eduardo, que le f(x) quand je monte sur la courbe, voilà, comme on a fait tout à l’heure avec Valentin…. …voilà, je reporte sur l’axe des ordonnées. Il faut imaginer que tu as des pointillées. Tu as quoi là? f'(x)…oups pardon, pas f'(x) mais f(x)
Voilà

Et toi, f'(x), c’est quoi? qu’est-ce que c’est?

Donc, à la base, vous avez f'(x)….

Je ne vais pas le noter x, je vais le noter a. C’est pas grave, c’est juste une question de notation. Je peux le noter a, vous êtes d’accord avec moi?

Et toi? Qu’est ce que ça va être f'(a)? En fait, par définition, f'(a) va être égale à la limite quand h tend vers a…vers 0, pardon,…. de
En fait tout ce truc peut vous paraître super compliqué. Mais, qu’est ce que c’est ce truc-là?
En fait, déjà, qu’est ce que c’est a+h?
Est-ce que tu peux nous dire où il est sur notre dessin?
Si h c’est un nombre, un petit nombre qui est positif…a+h c’est juste un petit nombre qui est là. Un nombre qui est à droite de a, il est supérieur à a, c’est aussi simple que ça.

Tu es d’accord avec moi?

Maintenant, comment tu vas avoir f(a+h)?

Pareil…Tu montes sur la courbe de f…Tu arrives à un deuxième point ici et tu regardes son ordonnée. Et tu traces tes pointillés pour avoir l’ordonnée…j’essaie de faire droit mon chemin…
A la gauche tu arrives a f(a+h), ok. Et là, maintenant, vous regardez ces deux points bleus.
Et est-ce que vous souvenez d’une bonne vieille formule de seconde, qui fait que vous calculez le coefficient directeur d’une droite passant par deux points a et b. Est-ce que tu te souviens de la formule?

Oui, c’est

Et non…(rectification)

Ce sont les ordonnées là-haut…

Pour avoir le coefficient directeur d’une droite passant par deux points…voilà, je vais essayer de la faire…je vais la faire…on ne la fera pas très bien, je vais essayer.Voilà…Et là vous pouvez calculer le coefficient directeur de cette droite.

Et ben, sans considérer la limite ici; dans un premier temps, je vais la barrer, voilà…c’est le coefficient directeur…exactement
C’est f(a+h) moins f(a) ….c’est exactement la même chose…parce que f(a) – f(a+h)…. vous commencez par celui que vous voulez….sur (a+h) – a, est a+h – a est bien h. Donc c’est exactement cette formule là. Donc, ceci-là, ce que j’entoure c’est le coefficient directeur de la droite passant par les deux points. Et maintenant, qu’est ce que c’est cette limite quand h tend vers zéro? En fait, quant h tend vers 0, je veux mettre un point d’une autre couleur.
Qu’est-ce qui fait le point vert?

Ben, il va vers la gauche…il remonte

Oui, il remonte vers le point bleu, tout à fait. Et qu’est que devient la droite du coup

Ah, oui, je ne voyais pas du tout pour quoi ce qu’on disait que la limite tendait vers 0…Là, j’ai compris…H est à droite de a mais…Je vois mieux pour quoi on écrit ça

D’accord…c’est normal…Tu es d’accord que quand h tend vers 0 le point vert tends vers le bleu et va se rapprocher indéfiniment du bleu. Il va être à la fin égal au point bleu, on peut dire ça comme ça. Et donc du coup, qu’est qu’elle deviner la droite bleue? En fait elle devient la tangente, comme dit Grégory, à quelle point? Parce qu’on parle toujours d’une tangente en un point donnée…et bien elle devient la tangente au point bleu.

Au point d’abscisses a ?

Tout à fait. Au point bleu…Je la refais un petit peu car c’est moche…ça serait peut être un peu plus pointue vers le bas…comme ça, ça serait la vraie tangente.

Quel est le coefficient directeur de cette tangente finale? Et bien, c’est précisément la limite quand h tend vers 0 de ça.

Et donc, à quoi ça sert, vous allez me dire?
Vous vous rappellez que ça c’est f'(a) et ça vous donne un nombre qui est f'(a). Ca veut dire f'(a), c’est ça qu’il faut retenir, c’est égale au coefficient directeur de quoi? de la tangente bleue ici….De la tangente comme tu as dit très vient, de la fonction f au point d’abscisse bleue a…Il faut dire tout ça, c’est pour ça que c’est un peu long.

Et ben, tu es bien d’accord que le coefficient directeur..On ne parle jamais de coefficient directeur que pour une droite.Ca n’existe pas pour les trinômes ou autres…Ca te dit quoi un coefficient directeur, s’il est négatif, sur la droite?

S’il est négatif la courbe est décroissante…

Alors, la droite …plutôt, la courbe de la fonction affine, si tu veux, donc la droite…Ca veut dire que quand f'(x), par exemple, est que quand le nombre est positif, le coefficient directeur est positif donc la tangente est croissante.Si la tangente est croissante qu’est que ça veut dire sur la fonction f en ce point-là?

Ici ce n’est pas le cas…mais…Si elle était croissante

Ici on trouverait qu’elle est décroissante, f'(a) <0 , donc elle est négative…Ca vous donne les variations de votre fonction à un point donné de votre fonction f. Donc quand vous calculez f'(x) pour toute x vous trouvez les variations de f sur toute l’intervalle. Donc en fait, je répète bien, le signe de f'(x) vous donnera les variations de f(x), et c’est quelque chose que vous utiliserez jusqu’au BAC. Vous aurez une question là-dessus au BAC, ça c’est sûr et certain parce que il y a toujours un problème avec calcul de dérivé au BAC. [/spoiler]

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