Vidéo: 1ère S Limite fraction rationnelle, signe du polynôme

Donc, dans cette question, on nous demande de trouver les limites éventuelles de :

<calcul mathématique>

quand x tend vers -3 et, plus tard, quand x tend vers 3. Alors premièrement, quand x tend vers -3. Et bien on remarque que le numérateur x tend vers -3 – ça, pas de problème. Mais le dénominateur tend vers :

<calcul mathématique>

Donc on a -3 sur zéro, et le problème est que -3 sur zéro est l’infini – mais quel infini? On ne sait pas si c’est plus l’infini ou moins l’infini. Donc il faut savoir si :

<calcul mathématique>

qui est ici au dénominateur, tend vers zéro plus ou zéro moins. Donc, pour ce faire, il faut faire un tableau de signe de cette fonction-là. Alors vous savez que c’est une fonction polynômiale, et que donc sa représentation graphique est une parabole qui est tournée vers le haut, puisque son coefficient petit A est positif. Donc, on a :

<calcul mathématique>

Ses deux racines sont moins 3 et 3, donc ça tombe bien puisqu’on nous demande d’ailleurs de trouver les limites entre moins 3 et 3. Donc, on a

<calcul mathématique>

Donc ici moins 3 et 3 sont des racines, et entre les racines – et bien x de moins 9 on a dit que c’était une parabole tournée vers le haut donc graphiquement, ça donne cela :

<calcul mathématique (graphique)>

Donc entre les deux racines, x de moins 9 est négatif puisque c’est en dessous de l’axe XXXXXX, et en dehors des racines, on a x de moins 9 qui est positif.

Alors ce tableau de signe va nous permettre de déterminer la limite lorsque x tend vers -3. C’est parce que lorsque x tend vers -3, par valeur négative, il se rapproche de -3 mais tout en restant strictement inférieur à -3, x de -9 se rapproche de zéro mais reste positif.

Donc, quand x tend vers -3, mais que x reste inférieur à -3 :

<calcul mathématique>

De la même façon, quand on étudie la limite lorsque x tend vers -3 mais cette fois avec x restant au-dessus de -3 :

<calcul mathématique>

Et de la même façon, quand on étudie l’autre limite demandée, quand x tend vers 3 – et bien il faut étudier les deux cas, c’est-à-dire quand x tends vers 3 par valeur négative et par valeur positive.

Donc, limite quand x tend vers 3 de valeur négative :

<calcul mathématique>

Et de la même façon, limite quand x tend vers 3 de valeur positive :

<calcul mathématique>

Voilà, donc on obtient les limites quand x tend vers -3 et 3, de cette fonction-là en étudiant le signe du dénominateur au voisinage des limites demandées.