1ère S Limite d’une fraction rationnelle, signe du polynôme

1ère S Limite d'une fraction rationnelle, signe du polynôme

Étudions la limite de cette fraction rationnelle quand x tend vers l’une des racines (les « zéros ») du polynôme du second degré au dénominateur.

(AU FAIT : à l’oral, quand je dis « x tend vers -3 par valeurs négatives », c’est plutôt « x tend vers -3 par valeurs INFÉRIEURES » (de même, remplace « par valeurs positives » par « par valeurs supérieures » )

Pour étudier une limite en un point (ici x=-3 puis x=3), remplace toujours x par la valeur étudiée pour voir comment se comporte chaque terme.

Ici, le numérateur tend vers une valeur finie, respectivement -3 et 3 pour chacune des deux limites à rechercher. Donc pas de problème.

Le dénominateur tend vers 0. Donc la limite de la fraction rationnelle est « -3 sur 0 « , ce qui te donne une limite infinie. Mais il y a un problème :

Quel infini ?? + ou – l’infini ?

Il faut donc étudier le signe de ce dénominateur, respectivement quand x tend vers -3 et 3. Se rapproche-t-il de 0 en restant négatif, ou en restant positif ?

Tu sauras alors si sa limite est 0+ ou 0-, et ça fait toute la différence !

Pour étudier le signe du polynôme au dénominateur, recherche ses racines (ici, elles sont évidentes, c’est x=-3 et x=3) et pense à la courbe de ce polynôme…

Pas trop dur ?

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