1ère S Moyenne, variance, écart type série statistique

Bonjour à toi! Alors dans cet exercice nous allons calculer la moyenne, la variance et l’écart-type de la série statistique suivante. Donc voilà, on a cette série-là, dont les valeurs sont ordonnées dans l’ordre croissant. Et ce qui est souvent utile – pas ici dans cet exercice – mais c’est très utile d’avoir les données ordonnées dans l’ordre croissant lorsqu’on veut calculer les intervalles inter-quartiers, notamment.

Donc ce que l’on va faire, c’est d’abord de calculer la moyenne. Alors tu connais la formule de la moyenne, la formule théorique, c’est :

<calcul mathématique>

Alors souvent, ce qui est intéressant dans les séries statistique c’est de faire l’analogie avec quelque chose qui peut-être te parle plus à toi, donc les notes scolaires. Et en fait, bon ici tu as une série statistique qui est rangée dans l’ordre croissant, mais ça ne te parles pas forcément.

Imaginons par exemple que tu as 14 en maths avec un coefficient de 9, et tu as 12 en physique avec un coefficient de 7. Tu as aussi 11 en français avec un coefficient de 4. Voilà. Donc ici c’est la même chose, les NI sont les coefficients, c’est-à-dire combien de fois la note en maths apparaît. Donc si tu voulais calculer la moyenne tu ferais 14+14+14+14+14+14+14+14+14+12 (sept fois…) +11+11+11+11 et ensuite tu divises par la somme des coefficients. Donc c’est juste une analogie que tu peux faire entre les statistiques et tes notes scolaires. C’est toujours intéressant de faire cette analogie-là, parce que c’est quelque chose qui te parle plus. Donc, tu peux tout le temps comparer les NI à des coefficients qui pondèrent tes notes et les XI à tes notes. Voilà.

Ici on avait noté la formule théorique de la moyenne, donc calculons-la. Je vais noter le calcul afin que tu comprennes bien.

<calcul mathématique>

Donc une fois qu’on a la moyenne, on nous demande dans la question de calculer la variance. Donc la formule de la variance, c’est :

<calcul mathématique>

Mais souvent ce n’est pas une formule très très pratique et on peut démontrer que c’est aussi égale à :

<calcul mathématique>

Donc nous, c’est ce que l’on va utiliser et en fait il suffit d’exprimer ceci. Donc dans notre cas c’est :

<calcul mathématique>

Donc il te suffit de prendre ta calculatrice, de faire ce calcul-là et puis ce serait bien si dans ta calculatrice tu as sauvegardé la valeur exacte de la moyenne – et puis tu retranches donc à ce calcul-là.

Donc je viens de faire le calcul et on trouve donc que :

<calcul mathématique> – alors j’ai gardé V sous forme de fraction…tu pouvais aussi garder la moyenne sous forme de fraction. L’intérêt de garder la moyenne sous forme de fraction est que c’est une valeur exacte.

<suite du calcul mathématique>

Voilà. Et tu sais enfin pour répondre à la dernière partie de la question – l’écart-type qui se nomme souvent S, et bien c’est la racine carrée de V. En sachant que V est toujours un nombre positif parce que théoriquement sa définition est une somme à des coefficients positifs, donc V est donc positif.

<calcul mathématique>

Donc voilà pour la réponse à ce premier exercice. Pas très compliqué en fait, mais c’est surtout calculatoire. Il faut te souvenir de cette formule-là, la formule de la variance, et la formule bien connue de la moyenne. Mais la formule de la moyenne, tu la connais, il suffit de te référer à la moyenne que tu peux calculer sur tes notes avec les coefficients. Tu multiplies chaque note par son coefficient, tu ajoutes pour chaque discipline les notes multipliées par leur coefficient et tu divises par la somme de tous les coefficients. C’est tout ce que tu as à faire. Et tu trouveras une note moyenne.

Donc dans la deuxième partie de l’exercice, on nous demande d’éliminer les valeurs extrêmes. Alors, les valeurs déjà, ce sont les XI.

Il ne faut pas confondre les valeurs avec les effectifs, qui sont les NI – c’est-à-dire le nombre d’occurrence de chaque valeur. Donc les valeurs, ce sont bien les XI.

Et les valeurs extrêmes ici, dans la question on nous demande les éliminer – et bien les valeurs extrêmes ce sont la première et la dernière, puisque l’on a nos valeurs qui sont placées dans l’ordre croissant donc on a la plus petite valeur ici qui est la première et la dernière est la plus grande. Donc, les valeurs extrêmes sont la plus petite et la plus grande. Voilà.

Ensuite, on nous demande de calculer la moyenne et l’écart-type de la nouvelle série obtenue. En fait, c’est le même calcul que précédemment, sauf que l’on a enlevé cette première colonne et cette dernière colonne.

Donc si on recalcule la moyenne de la nouvelle série :

<calcul mathématique>

D’accord? Donc ce que tu peux remarquer c’est déjà que la moyenne, quand on a enlevé les valeurs extrêmes, n’a pas beaucoup changée. C’est comme si tu avais un ensemble de notes sur des disciplines, et que tu calculais ta moyenne sans tenir compte de la plus haute et la plus basse note, ça ne changerais pas grand-chose. C’est un peu le même phénomène qui se passe ici.

Et si tu calcules la variance :

<calcul mathématique>

Et donc après calcul, je trouve que :

<calcul mathématique>

L’écart-type de la nouvelle série est donc la racine carrée de V prime :

<calcul mathématique>

Alors ce qui est intéressant, c’est que – je re-note entre parenthèses l’écart-type de la série précédente – en ayant enlevé les valeurs extrêmes de la série, on remarque que l’écart-type a considérablement diminué. Il est passé d’environ 244 à environ 102. C’est donc en fait que les valeurs sont plus concentrées, maintenant, autour de la moyenne que lors de la première série, où là elles étaient plus écartées. Et c’est ça que l’exercice veut te montrer. C’est pour ça qu’il est toujours intéressant quand tu as terminé un exercice d’aller un peu plus loin et d’essayer de comprendre pourquoi on t’as posé ces questions. Donc ici on t’a demandé d’enlever les valeurs extrêmes pour te faire réaliser que l’écart-type diminuait considérablement quand tu enlevais ces valeurs-là.