Cette question est la première question d’un problème. Ce serait dommage de rester bloqué à cette étape
Il s’agit d’un raisonnement un peu abstrait car la racine est notée «x0» («x zéro»), et il faut démontrer que 1/x0 est aussi racine du polynôme P, de degré 4.
Premièrement , il faut bien voir ce que signifie l’hypothèse « x0 est racine de P », c’est-à -dire exprimer cela d’une autre manière. A savoir P(x0) = 0 ; tu peux même aller plus loin en transformant P(x0) en utilisant l’expression de P… Bon, cela ne t’aide pas tout de suite, mais cela VA t’aider par la suite.
Deuxièmement , pour bien comprendre la question posée, c’est-à -dire ce que tu dois démontrer, il te faut exprimer l’assertion « 1/x0 est une racine de P » d’une autre façon : en fait, P(1/x0) = 0. Il faut donc démontrer ceci.
Alors pourquoi ne pas calculer P(1/x0) en utilisant l’expression de P qui t’est donnée, et démontrer que ça fait 0 ?
Transcription texte de la vidéo
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Vidéo 6: 1ère S Raisonnement sur un polynôme de degré 4 à partir d’une racine
Voilà , donc dans cet exercice, nous avons un polynôme :
<calcul mathématique>
Et nous savons que X zéro en est une racine. La première question, est de démontrer que 1 sur X zéro est aussi une racine. Alors, ce qu’il faut démontrer, est que :
<calcul mathématique>
Ça, c’est la question qu’il faut réussir à démontrer.
Donc, ce que l’on va faire, c’est de calculer P de 1 sur X zéro.
<calcul mathématique>
Ok, donc calculons ce que l’on peut calculer :
<calcul mathématique>
Donc, si l’on mettait tout au même dénominateur, peut-être que l’on trouverait quelque chose qui pourrait nous avancer. Alors, je vous propose de faire ça – on va tout mettre sur X zéro puissance 4, puisque c’est simple:
<calcul mathématique>
Alors, au-dessus on retrouve – si l’on réordonne d’abord les plus grosses puissances :
<calcul mathématique>
Au-dessus, si vous regardez bien, on retrouve P de X zéro. Donc, on obtient :
<calcul mathématique>
Hors, puisque l’on sait que X zéro est une racine de P, alors P de X zéro égale zéro! Donc on bient :
<calcul mathématique>
Donc, on a bien démontré que :
<calcul mathématique>
Et on a bien démontré que 1 sur X zéro est une deuxième racine de P.
! Car cela t’obligerait à abandonner l’exercice, et ses points surtout…
