1ère S Rapport d’une homothétie

Homothétie 1ère S

Dans cet exercice de mathématiques corrigé en vidéo, nous allons chercher le rapport d’une homothétie connaissant une relation vectorielle qui caractérise 3 points.

Dans le plan (c’est un exercice de géométrie dans le plan), nous avons trois points A, B et C placés de telle façon qu’ils respectent la relation vectorielle donnée dans l’énoncé de l’exercice. Ils ne sont donc pas disposés au hasard.

La relation vectorielle traduit immédiatement une colinéarité : les vecteurs CA et AB sont colinéaires. Puis, comme chacun de ces deux vecteurs possèdent un point commun qui est A, on déduit très vite que les points A, B et C sont alignés dans le plan !

Il n’est donc pas surprenant de chercher une homothétie de centre A qui transforme B en C car un homothétie donne toujours 3 points alignés : le centre, le point original à transformer et le point transformé !

Bon, très bien. Ceci ne nous dit pas comment déterminer le rapport de l’homothétie, je suis d’accord avec toi.

Pour ce faire, nous devons nous rapporter à la définition vectorielle de l’homothétie de centre A et de rapport le nombre réel noté k (et que l’on cherche ! ).

Une fois que tu as écrit la définition de ton cours, il te suffit de l’adapter à l’exercice, au cas particulier de B transformé en C par cette homothétie. En effet, la définition fait intervenir un point M quelconque du plan…

Et là, c’est la révélation ! Enfin normalement 😉 . Car, à partir de ce moment, tu vas voir que la relation vectorielle donnée dans l’énoncé de l’exercice « colle » tout à fait à cette définition de l’homothétie de centre A appliquée au point B transformé en le point C, tu saisis ?

Il ne te reste donc plus qu’à identifier le rapport de l’homothétie…

Autre façon de faire

Une figure ! Bien sûr ! En dessinant les points A et B n’importe où dans le plan de ta feuille de papier (on fait avec les moyens du bord hein 😉 ? ), donc ton brouillon d’abord et ta copie en devoir surveillé ou examen après, tu construis le point C d’après la relation avec les vecteurs donnée dans la question.

Et tu vas voir qu’il est très facile de déterminer le rapport d’une homothétie de centre A, si tu as bien compris comment ça marche, une homothétie 😉 .

Je te laisse, à la prochaine,

Romain

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