1ère S Théorème de Thalès et homothétie

Théorème de Thalès et Homothétie

Dans cet exercice de mathématiques corrigé en vidéo, un exercice difficile je te l’accorde, il s’agit chercher à savoir s’il existe une homothétie qui transforme les points A et B en A’ et B’ respectivement.

Quand tu fais une figure, en respectant bien l’hypothèse qui dit que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles, il n’est pas facile de voir comment poursuivre…

Définition d’une homothétie

Un rappel de cours sur ce qu’est une homothétie : il s’agit de chercher un point du plan (car en 1ère S, chapitre homothétie et translation dans le plan, c’est de la géométrie dans le plan) et un nombre réel non nul tel qu’ils respectent LA relation vectorielle donnée dans la vidéo.

Pour ce faire, construisons les droites (AA’) et (BB’), ce sont normalement des droites concourantes. Si ce n’est pas le cas, c’est une exception et l’exercice ne marche plus !! Vu que ces droites sont concourantes, notons le point de concours O, peut-être s’agira-t-il du centre de l’homothétie 😉 ?

Théorème de Thalès

Oui ! Ce sera le cas… Mais, pour l’heure, appliquons le théorème de Thalès à notre schéma, puisque deux droites sont parallèles : nous obtenons des rapports de longueur égaux.

Vecteurs colinéaires

En exprimant ensuite le fait que les vecteurs OA et OA’ sont colinéaires (car ces 3 points sont alignés, par construction, la colinéarité est très utile pour traduire l’alignement de 3 points, dans le plan ou même en géométrie dans l’espace), il s’agit de montrer que le coefficient de colinéarité, noté alpha dans la vidéo de l’exercice, est le même entre les vecteurs OA et OA’ et OB et OB’, tu comprends ? De ce fait, nous nous serons ramenés à une relation vectorielle qui définit une homothétie de centre O et de rapport ce coefficient de colinéarité.

Passage à la norme de vecteur

Et, en effet, nous allons déduire que alpha = OA’/OA = OB’/OB (d’après le théorème de Thalès), et que ce coefficient de colinéarité est le même pour les 2 relations vectorielles traduisant la colinéarité des vecteurs OA et OA’, et OB et OB’. Pour cela, nous aurons dû prendre les normes des vecteurs, « sortir » la constante alpha de la norme en prenant sa valeur absolue (et c’est là que c’est pas évident peut-être).

Nous avons donc identifié notre homothétie, son centre et son rapport.

As-tu compris cet exercice un peu théorique ?

Romain

Transcription texte de la vidéo Montrer

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