Vidéo 20: 1ère Terminale S Définition dérivabilité, limite

Donc dans cet exercice, tu dois déterminer si F est dérivable en X zéro et déterminer le cas échéant :

<calcul mathématique>

Dans le cas présent, on a :

<calcul mathématique>

Alors, pour ceci il faut te rappeler la définition de la dérivabilité d’une fonction en un point. Alors F est dérivable en X zéro si :

<calcul mathématique>

existe et est finie. D’accord? Donc si tu trouves une limite qui est plus ou moins l’infini, et bien ça n’ira pas. F ne sera pas dérivable en X zéro.

Alors ici, on a X zéro qui est égal à zéro. Alors comment va-t-on faire? Donc l’idée, pour savoir si F est dérivable en zéro, c’est d’étudier cette limite-là quand x tend vers zéro. Alors, ce qu’il faut faire, c’est que vu que F se distingue selon que X est inférieur à zéro ou que X est supérieur ou égal à zéro, et bien il faut étudier ce rapport-là pour X strictement inférieur à zéro ou pour X supérieur ou égal à zéro.

Donc, pour X strictement inférieur à zéro, on a le rapport qui est égale à :

<calcul mathématique>

D’accord? Donc pour les X strictement négatif, ce rapport-là vaut moins X. Ensuite, on peut étudier la limite de ce rapport quand X tend vers zéro. Et bien c’est tout simple; la limite de ce rapport, quand X tend vers zéro et par valeur inférieure, et bien c’est égal à :

<calcul mathématique>

Et la limite quand X tend vers zéro, que ce soit par valeur inférieure ou supérieure de moins X, c’est zéro. Donc, on a déterminé la limite quand X tend vers zéro par valeur inférieure de ce rapport-là, et elle vaut zéro.

Ensuite, étudions la limite quand X tend vers zéro par valeur supérieure. Alors, ce rapport – essayons de l’exprimer :

<calcul mathématique>

Donc, on a la limite de ce rapport quand X tend vers zéro moins et zéro plus, c’est la même; c’est-à-dire zéro, donc on a en conclusion :

<calcul mathématique>

Donc, F est dérivable en zéro et surtout, F prime de zéro est égal à cette limite-là, donc égal à zéro. Voilà donc pour la solution de cet exercice.

Alors l’exercice est un petit peu théorique, mais l’idée est de bien se souvenir de cette définition-là; c’est-à-dire F est dérivable en un point si, et seulement si, la limite de ce rapport existe et est finie. Les deux mots sont importants; existe et est finie. Alors ici vu que la fonction était définie de façon un petit peu compliquée, c’est-à-dire sur R moins étoile et sur R plus, alors il fallait étudier ce rapport-là pour X inférieur à zéro et pour X positif, et étudier les limites par valeur inférieure et la limite quand X tend vers zéro par valeur supérieure. Et, on obtient dans les deux cas, zéro. Donc, la limite quand X tend vers zéro existe, elle vaut zéro, et elle est finie.

Donc on en conclut que F est dérivable en zéro et surtout, aussi, que F prime de zéro égal zéro.