Distance entre deux points

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Alors aujourd’hui on doit calculer la distance entre les points :

<calcul mathématique>

Alors si tu connais bien ton cours, et bien c’est très simple – puisqu’il y a une formule qui permet de calculer la distance entre deux points, et cette formule est la suivante :

<calcul mathématique>

C’est pour ça que j’avais tracé une longue racine carrée, c’est pour pouvoir englober tout ça. Alors peut-être que tu peux parfois avoir peur d’inverser les signes à l’intérieur, c’est-à-dire :

<calcul mathématique>

Ici il ne faut pas avoir peur de changer de signe, il n’y a pas de problème, puisque :

<calcul mathématique>

Tu peux même dire que c’est égal à :

<calcul mathématique>

Et enfin tu peux aussi dire :

<calcul mathématique>

Donc la seule chose sur laquelle il ne faut pas te tromper, c’est que la racine carrée englobe tout ; il faut garder les x ensemble, et il faut garder les y ensemble. D’accord ?

Alors pourquoi on peut changer de signe comme on veut ? Et bien tout simplement parce que la différence est au carré :

<calcul mathématique>

Et si je mets ceci au carré, et bien on obtient :

<calcul mathématique>

Mais ceci, tu sais que – puisque je vais noter ceci en bas en noir – tu sais qu’ici tu as :

<calcul mathématique>

Donc ici on va appliquer exactement cette formule-là, donc ici c’est :

<calcul mathématique>

Donc je ne viens juste que d’appliquer cette formule en noir-là. Donc :

<calcul mathématique>

J’aurais pu faire pareil avec les y, parce que tu vois bien ici que :

<calcul mathématique>

C’est pour ça en fait qu’ici on peut remplacer :

<calcul mathématique>

Donc ici il n’y a pas de risque de te tromper dans l’ordre, en fait, des deux points.

Tout ceci, c’était pour te montrer la formule de cours. Cette formule-là, moi je te conseille de retenir la première puisque c’est la plus simple, tu as :

<calcul mathématique>

Ce que j’aimerais te montrer maintenant, c’est d’où cette formule vient. Et bien tu vas voir que ce n’est pas très compliqué. Alors d’où vient cette formule ? Et bien c’est très simple ; ici je vais tracer un repère orthonormé dans les deux axes, donc :

<calcul mathématique>

Voilà le point B.

Alors si tu ne connaissais pas cette formule, comment calculerais-tu la distance entre ces deux points ? Et bien c’est très très simple. Moi je te conseillerais de tracer un triangle rectangle. Il y a plusieurs façons de le tracer, mais une façon simple, c’est celle-ci :

<calcul mathématique>

Parce qu’ici, tu as un angle droit, c’est pour cela que le triangle est rectangle. Ici je vais noter ce point C, d’accord ?

Et bien, pourquoi je fais apparaître un triangle rectangle ? Et bien, c’est parce que comme on veut au final calculer cette distance entre les points AB qui est en fait l’hypoténuse de ce triangle rectangle, et bien ça te fait peut-être penser à un théorème que tu connais. Ce théorème, bien sûr, c’est le théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore, qu’est-ce qu’il dit dans un triangle rectangle – le triangle ici est rectangle dans C. Donc le théorème de Pythagore et bien il te dit que :

<calcul mathématique>

C’est bien joli tu me diras ! Mais nous ce qu’on veut calculer, c’est AB. Alors, en fait c’est très simple, puisqu’ici tu as les coordonnées de chacun des points A et B. Et donc tu vas connaître très facilement la distance AC et BC, alors comment ?

Si je reviens à notre dessin, la distance AC, et bien puisque C – tu connais ces coordonnées – et bien j’ai projeté B orthogonalement sur l’axe des abscisses ici, donc :

<calcul mathématique>

Alors pourquoi C a ces coordonnées-là, et bien parce que C a conservé l’abscisse de B mais il perd son ordonnée. En fait, son ordonnée, on l’a mise à zéro. Donc, puisque tu as les – coordonnées de C – ici tu as la distance BC – et bien tout simplement tu es descendu de 3 sur l’axe des ordonnées. Donc :

<calcul mathématique>

Et tu feras le même genre de calcul pour la distance AC. Puisque tu as :

<calcul mathématique>

Donc ici tu as

<calcul mathématique>

Voilà. Donc, ça c’est la distance AC. Ainsi, tu peux calculer ici d’après le théorème de Pythagore :

<calcul mathématique>

Alors ça c’est la conclusion donc :

<calcul mathématique>

Donc parce que AB est une longueur – donc AB est positif – ce n’est pas moins racine carrée de 34, mais racine carrée de 34, parce que rappelle-toi quand tu as :

<calcul mathématique>

Donc il ne faut jamais oublier cette deuxième solution-là. Donc c’est juste un petit rappel, ici pourquoi AB ne peut pas être égal à moins racine carrée de 34  – parce que AB c’est une longueur, c’est une distance, donc c’est forcément positif.

Et donc voilà ! On a calculé ici notre distance en utilisant le théorème de pythagore. Et d’une façon générale, si tu regardes bien, on a retrouvé cette formule de cours ici, puisque ça, ce n’est rien d’autre que le Pythagore si tu regardes bien :

<calcul mathématique>

Et c’est exactement du théorème de Pythagore que provient cette formule-là. Et bien si jamais tu t’en souviens plus et que tu dois calculer la distance entre deux points A et B, et bien ce que je te conseille de faire c’est :

<calcul mathématique>

Donc tu n’as juste qu’à te souvenir du théorème de Pythagore, mais ça tu le connais depuis le collège.