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Propriété du losange

Dans cet exercice de maths corrigé en vidéo, nous allons montrer que le quadrilatère ABCD est un losange « the hard way » ;) . En effet, je te montrais dans une vidéo précédente une démonstration plus simple et plus facile. Cette seconde vidéo a donc un objectif pédagogique qui est celui de rappeler une autre définition du losange, de calculer les coordonnées du milieu d’un segment, et d’utiliser le produit scalaire de deux vecteurs.

Propriété du losange

Je ne rappelle pas ici la définition de ce parallélogramme particulier qu’est le losange, j’ai déjà fait ce rappel dans cette vidéo. En revanche, je t’expose une propriété cruciale d’un losange qui est que ses diagonales se coupent en leur milieu et perpendiculairement (ses diagonales sont perpendiculaires, tu peux les voir en jaune sur la figure dessinée dans la vidéo).

Ici, employons-nous à faire cette démonstration en utilisant cette propriété caractéristique.

En deux temps :

Il va s’agir de montrer que les deux diagonales ont bien un milieu qui est commun, et que nous notons I dans la vidéo.

Puis tu vas devoir montrer (ne t’inquiète pas, je t’aide ;) ) que les diagonales se coupent en un angle droit. Quoi de plus facile que d’utiliser le produit scalaire de deux vecteurs ?

Milieu d’un segment

Pour calculer les coordonnées du milieu d’un segment, fais la demi-somme de chacune des coordonnées. Quand tu auras montré que les diagonales s’intersectent effectivement en leur milieu, alors ce premier temps de la démonstration t’aura prouvé que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. En effet, une importante propriété du parallélogramme est que ses diagonales se coupent en leur milieu…

Mais ce n’est pas fini…

Produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux

Nous allons une nouvelle fois mettre à profit notre connaissance des coordonnées des sommets du quadrilatère dans le repère orthonormé tacite auquel l’espace 3D a été rapporté. En déterminant les coordonnées des deux « vecteurs diagonaux », calculons le produit scalaire de ces deux vecteurs en utilisant la définition analytique du produit scalaire. Ce dernier mot est un gros mot pour dire que nous multiplions les abscisses, les ordonnées, et les cotes deux à deux, puis que nous en faisons la somme !

Si le produit scalaire est nul, alors c’est gagné !

Voilà une nouvelle démonstration, plus compliquée que la précédente, mais plus riche aussi ! En ce sens que nous faisons appel à plus de notions (et de chapitres) mathématiques. Bien sûr, cet aspect-là, tu t’en fiches ;) ! C’est pour cela que je t’encourage à regarder la 1ère vidéo dans laquelle la démonstration est plus simple et rapide !

Bonne journée !

Romain

Transcription texte de la vidéo Montrer

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