Résoudre l’inéquation x² < constante

Dans cet exercice de maths gratuit en vidéo, nous allons expliquer comment résoudre une inéquation du type x² <= constante. [spoiler] Comment résoudre l'inéquation x2 inférieure ou supérieure à une constante par le calcul Musique Bonjour à toi et bienvenue à cette vidéo de Star en Maths dans laquelle nous allons résoudre l'inéquation suivante:

par le calcul.

Alors, comment tu t’y prendrais pour résoudre ce type de calcul? En fait, ce que je te recommanderais de faire c’est de te ramener à une étude de signe.
En fait, tu vas passer le 36 ici qu’on trouve à droite de l’autre côté, c’est à dire, à gauche.
De cette façon, ici tu vas obtenir un 0 à droite.
C’est vraiment une technique très classique pour résoudre des inéquations en mathématique, tu te ramènes à une étude de signe en obtenant un 0 soit à gauche ou à droite de ton inégalité.
Alors, regarde ce que ça va donner.

Tu peux renoter ton équation si tu veux.

Et là tu passes le 36 de l’autre côté.

Alors, comment passer un nombre de l’autre côté? C’est toujours en faisant une même opération de deux côtés de ton < ou =. C'est pareil pour les équations. Là tu fait -36, -36 à gauche et -36 à droite, c'est qui va permettre d'enlever la droite et de mettre -36 à gauche. C'est comme ça que je t'encourage à raisonner quand tu passes, entre guillemets, un nombre de l'autre côté, que c'est soit pour une équation ou pour une inéquation. Donc là on va obtenir: x2 -36 < = 0 Et là maintenant je te disais, on se ramène enfant à une étude du signe de X2 -36 puisqu'il s'agit juste de savoir quand est que cette expression est < = 0, c'est à dire, négative. En fait, le fait d'avoir amené un 0 à droite, te permet de te poser simplement cette question: quand est-ce que X2 - 36 est négative, est moins. Donc là, je pense que tu commences à comprendre.Ce que l'on va faire c'est juste dresser le tableau de signes de x2 -36 Le problème c'est comment faire? En fait on ne peut pas faire juste le tableau de signes de cette expression comme ça. C'est qu'il faut faire c'est de la factoriser. Donc, comment factoriser cette expression x2-36? Peut être que ça te fait penser à quelque chose, à l'une des trois identités remarquables. En fait, ça devrait te faire penser à a2 -b2, car en plus 36 c'est un carré parfait. C'est 6 au carré. Je pense que ça t'aura fait penser à ça. Et a2 -b2 tu te souviens de combien ça vaut? Ca vaut (a-b) (a+b), c'est la forme factorisée de cette identité remarquable Et maintenant, c'est quoi a, c'est x, et c'est quoi b, et bien, c'est 6 Puisque 36 = 6 au carré Si tu veux, je vais l'écrire comme ça x2 - (6)2 <= 0 Et donc, je vais récrire notre inéquation ici en remplaçant x2 - 62 par l'expression factorisée. C'est ici que cette identité remarquable est utile: C'est à dire que tu obtiens:

C’est donc, cette inéquation ici qu’il faut résoudre, et c’est donc de cette expression (X-6)(X+6) qu’il faut trouver les signe, qu’il faut dresser le tableau de signes.

Donc c’est parti

Vu qu’il n’y a pas de valeur interdite, il n’y a pas de caution, il n’y a pas de racine carrée, donc on étudie en fait cette expression de x= – infini à x= + infini
Donc quand x se promène de -infini à + infini….Ca c’est la toute première ligne du tableau de signes
On fait apparaitre les autres lignes du tableau de signes
Ca va être, x-6 premier facteur ,
X+6, deuxième facteur

Je pense que maintenant tu comprends l’intérêt de factoriser l’expression
C’est que là on va trouver juste le signe de x-6, premier signe, puis de x+6, deuxième signe, et ensuite tu auras le signe de ton expression ici.

Et à la fin de la dernière ligne tu regarderas quand est ce que c’est -, c’est à dire, inférieur à 0
Voilà notre plan, notre stratégie

Et voilà une dernière ligne qui correspond à l’expression totale X2-36, qui correspond à (x-6) (X+6), je mets carrément X2-36, c’est la même chose

Et maintenant on est face à un sousproblème, c’est obtenir le signe de x-6 et de X+6
Comment obtenir le signe de ces petites fonctions-là, de ces petites expressions? Parce qu’elles sont aussi des fonctions, plus précisément des fonctions du type ax+ b
Tu vois?
ax+ b
Ce sont des fonctions affines, en fait.

Comment obtenir le signe des fonctions affines? Bon, j’ai fait plein de vidéos sur ce sujet-là, n’hésite pas à aller les voir si tu as des petit soucis là-dessus, si tu veux savoir comment faire.
Ce n’est pas très compliqué.
Je vais te le reexpliquer rapidement ici.
Alors, ax + b, ici, x -6 en particulier, c’est une fonction affine qui est croissante. Pour quoi croissante? Parce que son coefficient directeur, le a en noir ici, est positif, est le 1 devant le x. Le coefficient directeur ne comprend jamais le x, c’est le nombre devant le x. Et là c’est 1, puisque il y a 1 qui est implicite, on ne le voit pas, je le mets mais normalement on ne le voit pas.
Ca veut dire qu’il est croissante. Si tu traces la courbe de cette fonction affine, tu te souviens que la courbe d’une fonction affine c’est toujours une droite- donc ça va être une droite qui monte. Voilà, je vais la faire juste là. Je ne sais pas trop comment elle monte mais c’est pas grave, c’est juste pour te montrer comment ça marche.

Et ça serait bien de savoir quand est-ce que c’est droite passe par l’axe des abscisses? Car c’est qui nous intéresse c’est de savoir quand est-ce que la droite bleu est au-dessus des abscisses auquel cas x-6 sera positive, et aussi est que que cette droite bleue est au-dessous des abscisses.
Donc l’axe des abscisses c’est quelque part par là, je ne sais pas trop où. Hop!
Et là ça serait bien de savoir ce nombre, ce x e pour lequel y=x-6=0.

Tu vois, comment connaitre c’est x?
Il suffit de résoudre y= x-6= 0
Et ça va te donner, je pense que tu le sais, x= -6 en passant le 6.
Voilà donc la valeur charnière, on l’appelle comme ça, x=6

On dessine les ordonnées qui vont être à gauche du 6 forcément.
Et voilà, ça y est, maintenant tu peux avoir le signe très simplement.

Sur la portion verte de x, c’est à dire, pour x supérieur ou égale à 6, la fonction est positive
Donc là on va avoir +
Là, on va avoir -; Pour x inférieur à 6 x-6 est tout simplement négative parce que la droite en en-dessous de l’axe des abscisses
Là on place notre 6 dans notre tableau de signes, on place la barre verticale et on met 0, parce que x- 6 vaut 0 quand x vaut 6.

Et sur x2-36 qui est (x-6)(x+6), ça vaut aussi 0, car pour x=6 x-6 est 0 et 0 facteur de quelque chose est 0. 0 fois quelque chose fait 0, c’est pour cela qu’on obtient 0 ici aussi.
Voilà comment obtient le signe d’une fonction affine.

Et on va faire exactement pareil pour x+6. Je pense que tu as compris comment faire.
On met -6 là, tout simplement parce que la valeur charnière c’est x=-6.
Regarde,

Et donc tu obtiens x= -6
Donc ici pour cette fonction affine ta droite monte toujours, mais l’axe des ordonnées est peut-être un peu plus par là. L’axe des abscisse par là.
Et là tu obtiens ton -6.

Donc la portion de x pour laquelle X+6 est positive, ben..X+6 est négative dans un premier temps, on va faire ça en orange, la portion des x pour laquelle la fonction est négative est pour les x inférieures à -6
On fait apparaitre la barre verticale, le 0 ici, le 0 là, c’est – ici et je pense que tu comprends que c’est + après.
Parce que regarde bien ici
Pour X>= -6, X+6 est au-dessus de l’axe des abscisses, ta droite bleu est au dessus, donc, on met + ici.

Tu peux reporter le – de la ligne précédente, le – orange, ici.

Et ça y est, on a obtenu le signe de nos deux fonctions affines
Et maintenant on peut obtenir le signe total, de ton expression totale, c’est à dire x2-36

– par – ça fait +
on a déjà mis les 0
– par + ça fait –
+ par + ça fait +

Et toi, tu cherchais à savoir quand est-ce que x2-36, tu te souviens, c’est là, autrement dit (x-6)(x+6),c’est pareil, inférieur à 0. C’est à dire, négatif.

Quand est-ce que c’est négatif?
Et bien quand x se balade entre X=-6 et X=+6 et inclus
Car x2 -36 doit être égale ou inférieur à 0, ça a le droit d’être 0 dans cette inéquation.

Donc tes solutions sont:

dès -6 inclus jusqu’à 6 inclus

Je l’ai écrit, l’intervalle de -6 inclus jusqu’à 6 inclus

Voilà comment on a résolu notre inéquation

Je repère notre stratégie

On a passé le 36 à gauche de façon à obtenir un 0 à droite
Ceci nous a permis de nous ramener à une étude de signes
Et quand on a notre expression x2-36, on a factorisé pour obtenir le signe plus facilement.
Et bien, tu regardes à la fin quand est ce que c’est -, pour quels x c’est -.
Et la les x étaient entre -6 et 6 inclus.
Voilà comme résoudre ce type d’inéquation

Et la technique employée est utilisable aussi pour d’autres inéquations donc tu peux l’essayer quand tu rencontres des inéquations.

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