Terminale S Etudier le signe d’une fonction

Terminale S Etudier le signe d'une fonction

Dans cet exercice de maths gratuit en vidéo, niveau Terminale S, nous allons étudier le signe d’une fonction après le calcul de sa variation.

Etudier le signe d’une fonction

Pour étudier le signe d’une fonction mathématique un peu complexe, il faut étudier ses variations. Nous allons donc dresser le tableau des variations de la fonction continue f.

Pour ce faire, il faut calculer sa fonction dérivée, et en étudier le signe aussi 😉 (j’espère que tu ne confonds pas les 2 études de signe de cet exercice de Maths ).

Fonction monotone

Nous découvrons que la fonction f est décroissante sur l’ensemble des nombres réels R, donc maintenant, il ne reste plus qu’à calculer ses limites quand x tend vers + l’infini et vers moins l’infini.

Calcul de limite

Eh oui ! Il faut bel et bien calculer ses limites pour savoir que cette fonction s’annule à un moment donné !
Puisque nous trouvons les limites + l’infini et – l’infini quand x tend vers – l’infini et + l’infini respectivement, la fonction f, vu que c’est une fonction continue (c’est très important ! C’est en fait le théorème des valeurs intermédiaires), elle passe par zéro à un moment donné !

En fait, nous aurions pu nous en rendre compte dès le début de l’exercice de Maths, car l’image de zéro par la fonction f est 0 !

Dresser le tableau de signe de f

Donc, en conclusion, on obtient facilement son tableau de signe. Tu vois que son tableau des variations nous a permis de bien visualiser, de bien étudier le signe de cette fonction.

Petite erreur dans la vidéo (mais toute la démonstration reste vraie) :

A 7 min 47s, je dis que l’on peut obtenir les limites de « f » grâce au théorème des gendarmes. Mais ce n’est pas le théorème des gendarmes qu’il faut utiliser, c’est juste l’un des théorèmes de comparaison :

Si f(x) supérieur ou égal à g(x) pour tout x positif ET limite de g en + l’infini = + l’infini, Alors limite de f en + l’infini = + l’infini aussi.
Et les versions correspondantes pour -l’infini …
Ces théorèmes font partie de ce qu’on appelle les théorèmes de comparaison (le théorème des gendarmes en fait partie aussi).

Dans cet exercice, comme sin(x) est toujours compris entre -1 et 1 (quelque soit « x »), alors sin(x)-x est compris entre -1-x et 1-x.

Comme sin(x)-x supérieur ou égal à -1-x ET comme limite de -1-x en – l’infini = + l’infini, Alors, d’après le théorème de comparaison correspondant, limite de sin(x)-x en – l’infini = + l’infini aussi.

On fait un raisonnement analogue pour la limite en + l’infini.

Romain

Transcription texte de la vidéo Montrer

1 Comment

  • Fatima Ezzahra

    Reply Reply 4 août 2014

    Merci pour la vidéo,comment étudier le signe de : tanx – x sur I= ]-pi/2 ; pi/2 [

Leave A Response

* Denotes Required Field