1ère ou Term S Limite avec racine carrée, théorème d’encadrement (des gendarmes)

Vidéo: 1ère ou Term S Limite avec racine carrée, théorème d’encadrement (des gendarmes)

Donc, dans cet exercice nous devons trouver la limite de:

<calcul mathématique>

quand x tend vers plus l’infini. Alors comment faire? Et bien, nous allons étudier premièrement la limite – quand x tend vers plus l’infini – du premier terme, c’est-à-dire :

<calcul mathématique>

Et bien ceci est égal à la limite quand x tend vers plus l’infini. On simplifie un petit peu cela et on obtient, puisque :

<calcul mathématique>

Or, on sait que :

<calcul mathématique>

Et bien d’où ça vient? Regardez – pour étudier le comportement de la fonction cosinus, tracez toujours un cercle trigonométrique. Un cercle trigonométrique, ce n’est rien d’autre qu’un cercle de rayon 1. Alors voilà, nous avons maintenant un rayon de 1. Comme je prends un angle alpha, vous savez que son sinus est cette longueur-là, que l’on retrouve ici. Donc en fait, lorsqu’alpha évolue, donc si ça diminue ou augmente, le sinus ne dépassera jamais 1. D’accord? Et de la même façon, s’il continue d’augmenter il se rendra à -1. Donc, la valeur absolue de sinus est 1. Donc :

<calcul mathématique>

Et ceci va nous aider car :

<calcul mathématique>

Donc, par le théorème des gendarmes, le théorème d’encadrement, et bien vous obtenez comme limite, quand x tend vers plus l’infini :

<calcul mathématique>

alors limite quand x tend vers plus l’infini de :

<calcul mathématique>

par le théorème des gendarmes. Voilà donc pour le premier terme de la limite que l’on recherche. Donc je vais effacer tout ça et je vais mettre que cette limite égale à zéro.

Donc, on s’attaque au deuxième terme, limite quand x tend vers plus l’infini de :

<calcul mathématique>

C’est tout simplement de la même façon que ce que l’on vient d’étudier, comme :

<calcul mathématique>

Vous pouvez vous servir du cercle trigonométrique pour bien visualiser cela. Alors :

<calcul mathématique>

En fait, on étudie la limite quand x est très très grand, donc quand x tend vers plus l’infini, donc pour x supérieur à zéro. D’accord?

Donc, de la même façon, par le théorème des gendarmes, comme limite quand x tend vers plus l’infini :

<calcul mathématique>

Voilà. Donc pour conclure, comme tout ceci – je le réécris :

<calcul mathématique>

Comme ceci tend vers zéro pour x tend vers plus l’infini, et comme ceci aussi tend vers zéro quand x tend vers plus l’infini, alors l’ensemble tend vers zéro quand x tend vers plus l’infini.

Voilà! Donc, la philosophie de l’exercice est que quand vous avez une somme en même temps que vous avez une fraction, essayez de remarquer si les termes peuvent être éclatés. De cette façon, vous étudiez la limite de chaque terme.