Un petit raisonnement abstrait pour la route !
J’avoue qu’il n’est peut-être pas évident à résoudre pour un 1ère S.
Il s’agit de bien lire l’énoncé et de l' »exploiter » au maximum. On y parle d’une fonction impaire et de son image de zéro…
Pose-toi la question : « Comment je peux relier ‘impaire’ et f(0) ?? »
Comme souvent en Maths, traduire un énoncé sous une AUTRE forme est un excellent début. Ici, comment traduire autrement « fonction impaire » ?
Tu peux le traduire géométriquement : la représentation graphique de f est symétrique par rapport à 0.
Hum, ouii, d’accord, mais encore ? Cela ne nous sert à rien ici.
Tu peux aussi le traduire analytiquement : f(-x) = – f(x) Ah !
Tiens, si je remplaçais x par zéro ? Et c’est comme cela que tu vas avancer dans la résolution de cet exercice.
Tu as réussi ?
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Vidéo 4: 1ère ou Terminale S Fonction impaire : raisonnement sur l’image de zéro
Voilà, donc dans cet exercice, nous devons démontrer que si F est une fonction impaire, et si F de zéro existe, alors F de zéro égale zéro.
Comment faire?
Alors l’idée est qu’il faut exprimer :
<calcul mathématique>
Pourquoi? Parce que moins zéro égale zéro, tout simplement. Donc, ce qui est à l’intérieur, c’est la même chose.
Deuxièmement, on peut exprimer F de moins zéro d’une autre façon, puisque :
<calcul mathématique>
Et oui, car une fonction dite impaire sur son intervalle de définition – on a :
<calcul mathématique>
Pour tout x appartenant à l’intervalle de définition de F. Donc, qu’est-ce qu’on obtient?
On obtient, finalement, que :
<calcul mathématique>
puisque l’on a calculé deux fois la même expression, F de moins zéro.
Donc :
<calcul mathématique>
Donc, qu’est-ce que l’on déduit de cela? On peut déduire, en passant moins F de zéro de l’autre côté – c’est-à-dire en ajoutant à gauche et à droite F de zéro – et bien on obtient :
<calcul mathématique>
Donc :
<calcul mathématique>
Ce qui fait qu’on obtient en conclusion, bien sûr :
<calcul mathématique>
Et c’est bien ce qu’il fallait démontrer.
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