Asymptote verticale
Comment savoir si une droite verticale est asymptote à la courbe d’une fonction ?
Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Dans l’exercice d’aujourd’hui nous avons une droite d’équation x=2, donc une droite un petit peu spécial. Et on te demande de savoir si oui ou non elle est asymptote à la courbe de f.
Donc cette fonction f est la suivante : (x cube -13x -12)/(x-2)².
Alors déjà on va préciser ensemble quelle est le genre de droite à laquelle on a affaire ici. Tu as une droite d’équation x=2. Tu sais surement que l’équation d’une droite en général, c’est y=ax+b avec a qu’on appelle aussi le coefficient directeur ou la pente, et b l’ordonnée à l’origine.
Donc ça, c’est pour toutes les droites sauf justement les droites verticales dans un repère orthonormé d’axe x et d’axe y. En effet, une telle équation peut représenter une droite oblique et aussi une droite horizontale. Mais par contre, les autres droites qui sont les droites verticales dans ton repère orthonormé sont les droites d’équation x=constante. J’aurais pu noter c.
C’est la constante, caractéristique des droites verticales. Donc ça, ce sont les droites verticales, et ça, c’est les obliques et horizontales. En effet, à quoi tu reconnais que c’est une droite oblique ou horizontale ou verticale ? Et bien regarde le cas d’une équation de droite verticale : x=constante. Ça veut dire que pour tout point de cette droite, le x, l’abscisse est constant.
Tu vois, ça veut dire que si tu es dans un repère orthonormé (très rapidement fait, les x et les y) tu te places à un x constant. Imaginons que ce soit ta constante, disons 4. Tous les points qui sont sur cette droite verticale et passant par le point de coordonnée (4;0), donc ce point sur l’axe des abscisses, et bien tous ces points ont une abscisse x=4 et cette abscisse est constante pour tous ces points.
C’est comme ça qu’on caractérise tous ces points rouges, donc les points qui appartiennent à ta droite x=constante. Donc il n’y a qu’un paramètre pour caractériser une droite verticale, c’est où est-ce que tu places le x. à quel x tu te places ? Est-ce que c’est là, ou là ? Et ensuite tu obtiens l’équation de ta droite verticale. Là ce serait x=-2, ici ce serait x=2 par exemple.
Voilà donc une fois qu’on a fait ce petit rappel ensemble, on va pouvoir se demander si cette droite d’équation x=2 est asymptote à la courbe de f. Alors concrètement qu’est-ce que ça signifie qu’une droite est asymptote à la courbe d’une fonction ? Et plus particulièrement ici, qu’est-ce que ça signifie qu’une droite verticale est asymptote à la courbe d’une fonction ?
Et bien, imaginons que je représente en vert, la courbe de ta fonction f autour du point x=2. D’abord je vais faire un repère orthonormé très rapidement : l’axe x, l’axe y, ton origine, l’unité et imaginons le point ici d’abscisse 2 et d’ordonnée 0. Ce point bleu là. Et nous ce qu’on aimerait voir, c’est comment se comporte la courbe de f autour de ce point et plus particulièrement si cette droite d’équation x=2 est asymptote à la courbe de f.
Et bien regarde comment la courbe de f devrait se comporter. Elle devrait faire ceci tout simplement. Je ne sais pas du tout à quoi elle ressemble la courbe de f mais elle devrait se comporter comme ceci par exemple en arrivant de la gauche vers la droite. Si ton x il se déplace, suivant la flèche rouge, vers x=2. Analytiquement ça voudrait dire que quand le x tend vers 2- et bien ton f(x) tend vers +l’infini.
Et quand x tend vers 2+, donc quand ton x tend vers 2 mais de ce côté-là, selon cette flèche rouge-là, et bien ta courbe de f elle pourrait se comporter comme ceci également. Donc ça monte indéfiniment jusqu’à coller à cette droite d’équation x=2 que je fais apparaitre tout de suite qui est celle-ci. Ça c’est vraiment la droite verticale d’équation x=2.
Et tu vois que la courbe de f, en vert, et bien plus le x s’approche de 2 (2+ ou 2- dans ton calcul de limite) et plus le f(x) (c’est-à-dire l’ordonnée de tous ces points ; le y de tous ces points verts) tend vers +l’infini. Quand x se rapproche de 2, ces points verts montent dans le cas présent. Ici tu aurais une flèche. Donc le f(x), c’est-à-dire le y de ces points, qui est représenté ici, il augmente aussi, vers +l’infini.
Donc ça, c’est un cas possible mais tu pourrais aussi avoir ta courbe de fonction qui descend. Tu vois, ce serait un autre cas, que je vais représenter en pointillés. Elle pourrait descendre indéfiniment jusqu’à presque toucher cette droite d’équation x=2. Elle pourrait descendre ou monter.
Mais l’important analytiquement, c’est-à-dire quand on revient au f(x), c’est que quand x tend vers 2- ou vers 2+ (donc quand il se rapproche de 2), ton f(x) tende vers +l’infini ou -l’infini, l’un des deux infinis, l’infini en général.
Donc c’est ça qu’on va montrer dans notre exercice. On va étudier la limite quand x tend vers 2- de f(x) et on va vouloir montrer que c’est égal à + ou – l’infini. Ça c’est ce qu’on va vouloir démontrer, je mets un point d’interrogation en rouge.
Et exactement la même chose quand x tend vers 2+. Ça correspond à cette petite action ici représentée par la flèche rouge, le x se rapproche de 2 par valeur supérieure. Et bien la limite de f doit être + ou – l’infini, peu importe. Dans un cas ça peut être +l’infini et dans un cas -l’infini. Dans le premier cas ça peut être -l’infini et dans le deuxième aussi. Peu importe, il faut juste que tu aies un infini.
C’est exactement ce à quoi on va s’attaquer ici. On va démontrer que la limite de f(x), quand x tend vers 2- et quand x tend vers 2+, est +l’infini ou -l’infini.
Voilà donc c’est parti on va étudier ces deux limites. Le 1er cas : limite quand x tend vers 2 par valeur inférieur de f(x). Donc c’est la limite de tout ceci. On remarque d’ailleurs au passage que f(x) n’est défini que sur R-2. Il faut enlever le 2 de son ensemble de définition car quand x=2 le dénominateur devient nul.
Tu te souviens que pour trouver un ensemble de définition, très rapidement, quand il y a un quotient, il faut s’assurer que le dénominateur de ce quotient est différent de 0. Et quand il est égal à 0, ça te donne les valeurs interdites et il faut les enlever de l’ensemble de définition.
Donc ici, on ne peut pas calculer vraiment la limite quand x tend vers 2 tout seul. Il vaut mieux étudier quand x n’est jamais égal à 2 mais x tend vers 2 ici mais x est strictement inférieur à 2. Tu vois, il n’y a pas de inférieur ou égal. x ne peut jamais être égal à 2. C’est pour ça qu’on étudie les deux limites : quand x tend vers 2- et quand x tend vers 2+ et pas juste quand x tend vers 2 comme ça.
Donc ici, de quoi on se rend compte ? C’est déjà qu’au dénominateur, on va obtenir 0 parce que quand tu remplaces x par 2 tout simplement tu obtiens 2-2=0. Par contre, c’est un 0 au carré. Donc c’est un 0 c’est sûr mais c’est un 0+. Et ça, c’est une information qu’il faut prendre. Tu vois ça te donne 0 mais savoir que c’est 0+ c’est mieux. Donc au dénominateur déjà, c’est 0+.
Et quand on fait le calcul au numérateur, numérateur qui est ici un polynôme du troisième degré, donc forcément défini sur R, donc sa limite, à ce polynôme, donc à ce numérateur, quand x tend vers 2, c’est tout simplement… Il suffit de remplacer x par 2.
Et donc si tu notes ce numérateur N(x), c’est une fonction de x aussi qui est un polynôme… N comme numérateur. ET bien la limite de N(x) quand x tend vers 2, c’est tout simplement N(2) parce qu’un polynôme c’est continu. C’est exactement ça la raison parce qu’un polynôme c’est continu sur R et en l’occurrence continu en x=2.
Donc calculons N(2). On va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc ça fait -30 au numérateur. Je vais le noter entre guillemets parce que normalement on ne note jamais ça en maths : limite de f(x) quand x tend vers 2- égale « -30/0+ ». Normalement sur ta copie, tu écrirais plus progressivement ce calcul. Tu écrirais que la limite du numérateur c’est -30. EN-dessous tu écrirais que la limite du dénominateur c’est 0+.
Et donc tu pourrais conclure la limite de f(x) quand x tend vers 2-. D’ailleurs peu importe que ce soit 2- ici, tu as vu, peu importe. Et bien cette limite c’est -l’infini. C’est ça que tu écrirais.
Ici tu as -30 sur un nombre qui est très petit mais qui est positif. Tu peux prendre par exemple 0,1. -30/0,1 ça fait -300. Donc tu vois bien que tout ce nombre va tendre vers -l’infini.
Et c’est exactement la même chose pour la limite quand x tend vers 2 par valeur supérieure, de f(x). En fait que ce soit 2+ ou 2- ça n’influe pas dans ce calcul. Ça aurait pu mais ici ce n’est pas le cas.
Donc ici tu vas obtenir exactement la même chose : « -30/0+ ». Je rappelle qu’on n’écrit normalement pas ça sur ta copie. Tu écris ça au brouillon pour bien comprendre mais sur ta copie tu détailles le calcul de cette limite en écrivant d’abord le calcul de la limite du numérateur et le calcul de la limite du dénominateur. Et ici c’est aussi -l’infini.
Donc tu as bien démontré que la limite de f(x) quand x tend vers 2- c’est -l’infini. C’est un infini, peu importe, ça aurait pu être +l’infini ou +l’infini. Et quand x tend vers 2+ c’est également un infini.
Donc tu montres bien que la droite d’équation x=2 est asymptote à la courbe de la fonction f. Il n’y a pas besoin de préciser ici la notion de voisinage ou pas parce que cette asymptote elle est verticale donc c’est forcément au voisinage du point d’abscisse égale 2.
On parle de voisinage pour une asymptote quand elle est oblique ou horizontale.
Voilà pour cet exercice. J’espère que tu as bien compris la technique permettant de prouver qu’une droite verticale est asymptote à la courbe de f. C’est toujours la même cette technique. Et pour une droite oblique ou horizontale, c’est un petit peu différent.
