1ère S Asymptotes d’une fraction rationnelle

Vidéo 22: 1ère S Asymptotes d’une fraction rationnelle

Donc dans cet exercice, on nous propose de mettre F sous cette forme-là :

<calcul mathématique>

de façon à trouver les asymptotes de sa courbe. Alors, ce que l’on va faire, pour trouver les constantes A,B,C,D et E, et bien on va essayer de transformer cette expression-là en une fraction rationnelle. Donc, en fait, on va tout mettre sur le même dénominateur.

Donc on prend :

<calcul mathématique>

Donc on obtient trois termes qui sont sur le même dénominateur, et ce dénominateur est x-2. Donc déjà, on a choisi – dès le début – d égale 1 et e égale moins 2. Donc, je vais mettre ici :

<calcul mathématique>

Voilà. Ce qu’il nous reste à déterminer bien sûr, sont les constantes A, B et C. Donc là, on continue – on a tout sur le même dénominateur – on va développer en même temps. Donc, je traces un grand trait de fraction, et on met tout sur x-2.

Ici, je développe :

<calcul mathématique>

Ici, de la même façon, je développe :

<calcul mathématique>

Ensuite, ce que l’on fait, c’est qu’on réordonne les termes, de façon à avoir les X² avant, ensuite on met les X et ensuite à la fin on met les constantes.

Donc :

<calcul mathématique>

Et donc, comment déterminer A, B et C de telle façon à ce que cette fraction rationnelle soit égale à celle-ci? Et bien, c’est simple! Le dénominateur est égal, puisqu’on l’a choisi égal, mais il faut que notre numérateur soit égal. Donc le numérateur est un polynôme du second degré, et deux polynômes sont égaux à partir du moment où leur coefficient devant les puissances xⁿ sont égaux.

Donc ici, A=1, parce que ax² et ici on avait x², donc ça égale 1.

B-2a, tout ce coefficient-là, et bien ça égale à moins quatre. C’est le coefficient devant le x puissance 1. Et enfin la constance, -2b+c est égale à 3.

Donc ici on obtient un système de trois équations à trois inconnues, mais en fait on a déjà A, puisque A vaut 1. Donc, on va trouver rapidement B. Donc, je continue ici le calcul :

<calcul mathématique>

Donc on approche, on a déjà trouvé deux constantes sur les trois qu’il nous reste. On a A=1, B=-2 et ici :

<calcul mathématique>

Donc C=-1. Voilà, donc on a trouvé que tout simplement notre fraction rationnelle F, donc pour tout x réel différent de 2, puisque 2 est ici une valeur interdite entre guillemets, et bien on a :

<calcul mathématique>

D’accord? Donc en fait on a transformé notre fraction rationnelle en cette expression-là. Et cette expression-là est beaucoup plus simple à étudier en ce qui concerne les asymptotes, puisqu’on peut remarquer que déjà que :

<calcul mathématique>

Et bien il suffit de remplacer x par 2 dans cette expression-là; ici on obtient zéro, et ici en-dessous on obtient zéro aussi. D’accord? Donc on obtient :

<calcul mathématique>

donc plus l’infini. Et limite :

<calcul mathématique>

on obtient moins l’infini. Ce qui fait qu’au voisinage de 2 – je traces dans un petit repère orthonormé – ici je traces la droite x=2. Et bien notre courbe de F, au voisinage de 2, quand x tend vers 2 par valeur inférieure, et bien notre F(x) tend vers plus l’infini. Donc, on a cela :

<graphique>

Et quand x tend vers 2 par valeur supérieure, on a notre F qui fait cela :

<graphique>

qui tend vers moins l’infini, sans jamais toucher cette droite-là. Donc en fait cette droite-là, qui est la droite x=2, est une asymptote qui est verticale.

On a une autre asymptote qui est celle-ci : y=x-2. Pourquoi? Parce que :

<calcul mathématique>

D’accord? Voilà. Et la limite de ce terme-là quand x tend vers plus ou moins l’infini, et bien c’est zéro.

Donc, la droite d’équation y=x-2 est asymptote de notre fonction F au voisinage de plus l’infini et au voisinage aussi de moins l’infini.

La philosophie de l’exercice c’était de nous aider à trouver les asymptotes de la courbe de F définie de la façon suivante ici, en transformant F de cette façon-là. Et comme ça, on voit apparaître, directement ici, une équation de droite :

<calcul mathématique>

et un terme ici quand x tend vers plus ou moins l’infini qui tend vers zéro. Donc, ça nous fait dire déjà que l’on a une première asymptote oblique qui est celle-ci. Et puis bien sur on a l’asymptote verticale qui correspond à x égale la valeur interdite, ou la valeur pour laquelle ce dénominateur-là vaut zéro. Voilà. Est-ce que tu as compris comment on détermine les asymptotes d’une fraction rationnelle?