1ère S Calculer le nombre dérivé de f en a

Là, tu cherches à calculer un nombre dérivé. Est-ce que tu peux me dire avant tout ce qu’est un nombre dérivé ? Par exemple, si je trace un bout de courbe, par exemple comme celui-ci <Figure>. Voilà, là tu as la courbe de ta fonction f. Je fais très rapidement un repère orthonormé. Vous savez que je fais très bien les repères orthonormés, les axes sont toujours droits, très jolis. Donc là on a x, y et l’origine. Qu’est-ce que ça pourrait être par exemple, déjà est-ce qu’on dit « le nombre dérivé » tout seul ? Non parce qu’en fait, généralement on précise le nombre dérivé.

En fait un nombre dérivé, déjà on le calcule pour un nombre donné, un x donné.

Tu vois ce que je veux dire ? Pour un a par exemple. Là en l’occurrence tu as a. Donc ensuite, qu’est-ce que ça veut dire que le nombre dérivé de f en a. C’est pour ça qu’en fait on ne parle jamais de nombre dérivé tout seul. On parle du nombre dérivé de la fonction f en un point a. Ok, et qu’est-ce que ça veut dire graphiquement le nombre dérivé de f en a justement ? Est-ce que tu peux me dire ce que ça veut dire ici sur mon dessin ?

Et bien on peut tracer une tangente à la courbe.

Ça c’est très bonne idée. Alors, du coup, ce que je te conseille de faire, c’est de calculer le nombre dérivé, ou parfois de le trouver graphiquement, et bien, c’est déjà prendre un point de la courbe d’abscisse a. Tu vois, ce point-là, est-ce que tu peux me dire d’ailleurs quelles sont ses coordonnées ? Je viens déjà de te donner son abscisse.

f(a)

Voilà c’est ce que je voulais dire, donc (a ; f(a)). Ça c’est bien. <Figure>, ça c’est vraiment quelque chose à retenir, c’est quelque chose que vous allez revoir très souvent. Ensuite, tu me dis qu’on va tracer la tangente en ce point p à la courbe de f. Tu vois, je ne dis pas « tangente » tout seule, c’est un peu long à dire, mais il faut le dire : la tangente au point p, ou au point a, des fois tu peux de contenter de dire au point a à la courbe de f. Donc là, je vais essayer de bien le dessiner, <Figure> quelque chose comme ça. Du coup, je reviens à ma question :

Qu’est-ce que c’est le nombre dérivé de f en a ?

C’est le coefficient directeur de la tangente.

Voilà. Tu as tout compris. Exactement de la tangente, pas de la courbe. Du coup, le nombre dérivé, d’ailleurs le nombre dérivé de f en a, quelle est son autre définition qui utilise la dérivée cette fois-ci. C’est-à-dire f’. Le nombre dérivé de f en a comme tu me le disais à l’instant, et bien effectivement c’est le coefficient directeur, donc je vais le noter ici. C’est le coefficient directeur de la droite (∆), dont on sait que c’est la tangente au point p à la courbe de f, et c’est aussi ce nombre dérivé f’(a), le nombre dérivé de f en a c’est f’(a). Voilà, donc, et bien comment tu peux maintenant essayer de trouver ce nombre dérivé de a comme tu le disais graphiquement, parce qu’il me semble que tu voulais le calculer graphiquement. C’est bien ça ?

Oui.

Et bien en fait graphiquement, comment est-ce que tu calcules le coefficient directeur d’une droite ?

Est-ce que tu te souviens de comment on fait ?

Imaginons que tu aies un repère, je vais tracer une droite tout de suite, je vais essayer de la faire passer par des points, et tu vas me dire comment on calcule son coefficient directeur. C’est vraiment très important, donc là, imaginons, on te donne un exercice, tu as la courbe de la fonction f. Je vais commencer d’abord par tracer la tangente, imaginons, c’est un peu bizarre de commencer par la tangente, mais c’est pour que ce soit plus facile à faire. Voilà ta tangente verte, (∆), Et là, on imagine que c’est vraiment la tangente à cette courbe, qui peut faire ça avant. Voilà à peu près, ça c’est la courbe de f.

Comment tu calcules f’(2) ?

Voilà la question en fait, c’est ça la question que tu me poses.

Et bien ici ce serait ½.

Bon, est-ce que tu peux m’expliquer pourquoi ?

Parce qu’on voit que la tangente de la droite (∆) <Calcul mathématique>.

Oui, c’est une très bonne façon de faire. Alors, du coup, là tu dirais exactement sur ta copie… le truc c’est que ce n’est pas forcément évident à expliquer ce que tu me dis. Je vois que tu as compris, mais comment tu fais pour dire ça sur ta copie. En fait, pour calculer le coefficient directeur de cette droite, au fait, est-ce que tu connais au passage l’équation d’une droite ?

Non ?

C’est y=ax+b, il faut bien s’en souvenir de ça. Oui, tu t’en souviens ?

L’équation d’une droite, toute droite dans un repère orthonormé, tu as comme équation y=ax+b

Il faut absolument que tu retiennes ça.

En fait, c’est à ça que je voulais venir, comment on calcule un coefficient directeur ? Et bien il y a une formule. Tu prends deux points de ta droite, je vais les prendre en vert. Par exemple si tu as un repère, tu les prends de façon à ce que les coordonnées des points soient entières, ou les plus simples possible pour toi.

Ici par exemple tu as deux points. Est-ce que tu peux me dire les coordonnées du point a et du point b ?

<Calcul mathématique>. C’est bien et donc du coup, maintenant que tu as ces coordonnées-là, comment tu calcules son coefficient directeur, de la droite passant par a et b finalement, de la droite (ab) qui est la droite (∆) d’ailleurs.

Comment tu calcules le coefficient directeur à partir de ces coordonnées de a et b ?

En fait, il faut vraiment se souvenir de cette formule, c’est ∆y, est-ce que tu sais ce que ça veut dire quand je note ∆ ?

Non ce n’est pas la même chose, ∆y, ça veut dire la différence de y, alors, je ne vais pas le noter comme ça.

La formule pour le coefficient directeur de (∆), et bien c’est tout simplement (ya-yb), est-ce que tu peux me dire la suite ?

Sur (xa-xb)

Voilà, c’est bien ça ! C’est ça ta formule. En fait tu vas trouver directement ton ½ que tu m’as dit tout à l’heure, mais au moins mettre cette formule sur ta copie, c’est quelque chose qui va te permettre de justifier ce que tu me racontes. Tu vois ce que je veux dire ? Et non seulement tu mets la formule, mais surtout tu l’appliques. C’est ce qui va te permettre de trouver le coefficient directeur de (∆), qui je te le rappelle est f’(2). En gros, en français c’est tout simplement le coefficient directeur de la tangente au point a de la courbe de f. Voilà. Et en appliquant cette formule, est-ce que tu peux m’aider à l’appliquer cette formule-là ?

Oui.

Je t’écoute.

Donc <Calcul mathématique>

Voilà, ce qui nous donne ? <Calcul mathématique>. Voilà. Est-ce que je garde les « moins », qu’est-ce que j’en fais ? Je peux simplifier haut et bas par -1, en multipliant en haut et en bas par -1 pour enlever les « moins ». En gros, je peux enlever les « moins » tout simplement. Et donc, on obtient ½. Voilà. Donc cette formule, il faut absolument la retenir, parce que c’est ça qui te permet de calculer le coefficient directeur d’une droite.

Donc si par exemple on te donne un schéma avec la courbe de la fonction en bleue, et la droite tangente en un point donné. Et si on te demande de calculer le f’(a). Et bien tu calcules tout simplement le coefficient directeur de cette droite. Et ça c’est une formule que vous connaissez depuis longtemps, c’est ça. Ok ?

D’accord.
Attention, cette formule elle peut aussi s’écrire, en fait tu vois bien là qu’on a commencé par le point a <Calcul mathématique>, mais tu peux aussi commencer par le point b. Peu importe en fait, il faut garder l’ordre. C’est ça qui est important. Ici, tu aurais pu commencer par le point b et en disant que c’est égal à <Calcul mathématique> et c’est exactement la même chose. Attention, il faut bien mettre les y au-dessus. Ça c’est très important par contre, y au-dessus et x en dessous, voilà.

Voilà ce que je peux te dire Charles, est-ce que tu as compris un peu mieux ?

Oui merci.

Ok, donc retiens bien, vraiment le nombre dérivé de f en a, c’est à la fois ce nombre-là et c’est aussi le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point a.

Voilà, c’est un peu long à dire, mais on y arrive. Voilà c’est deux choses en fait, mais ces deux choses-là sont les mêmes. En tout cas, si tu as un exercice qui a attrait à ça, et bien tu me poses la question si tu n’y arrives pas. Je pense que là tu as compris comment on calculait un nombre dérivé. Rappelle-toi que graphiquement, ça revient, je le répète, à calculer un coefficient directeur. Et que le coefficient directeur, c’est cette formule ici à droite. Voilà.