Comment construire la section d’un tétraèdre par un plan ?

Comment construire la section d’un tétraèdre par un plan ?

Comment construite la section d’un tétraèdre irrégulier par un plan ?

Bonjour ici Romain Carpentier et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui on va faire un exercice de géométrie dans l’espace, un exercice de construction plus particulièrement. On a donc un tétraèdre ici en rose, le tétraèdre ERGH. On a le point A qui est sur le segment FG, le point B qui est sur le segment EG et C qui est sur EH. Donc les points A, B et C comme tout le temps dans l’espace forment un plan donc il faut déterminer la section du tétraèdre EFGH par notre plan ABC et surtout la construire. Donc ce qu’on va faire c’est qu’on va reproduire notre tétraèdre EFGH en plus grand puis on va construire ensemble la section du tétraèdre par le plan ABC et on va voir surtout comment procéder.

Voilà, donc j’ai reproduis le tétraèdre EFGH sachant qu’il est irrégulier. Un tétraèdre rappelles toi ça fait partie de la famille des pyramides. Tétra ça veut dire 4 en grec et donc ici on a 4 faces et on a nos points donc A faisant partie du segment FG, B qui appartient au segment EG et C qui appartient au segment EH. Alors construire la section du tétraèdre par ce plan ABC ça veut dire en fait trouver où est ce que le plan ABC coupe ce tétraèdre ça veut dire trouver exactement par où il faudrait découper notre tétraèdre EFGH pour que effectivement il soit divisé par ce plan ABC en 2 sous polyèdres. Ici si tu regardes bien, le segment AB et bien forcement la coupure de notre tétraèdre par le segment ABC va passer par AB parce que AB c’est une droite qui appartient au plan ABC et qui fait partie de la face EFG donc forcement notre section déjà elle va comporter ce segment qui est le segment AB. De la même façon on a, puisque la droite BC appartient au plan ABC et que cette droite BC fait partie de la face EGH de notre tétraèdre alors le segment BC est aussi une autre partie, un autre segment de la section que l’ont recherche donc on va tracer ce segment. Voilà, donc là on a tracé une partie de notre section le problème c’est qu’on ne sait pas vraiment par où notre section va passer sur les facettes, en dessous la facette FGH et également sur la facette derrière EFH. Donc comment on va déterminer le reste de notre section. En fait pour déterminer le reste de la section il va falloir qu’on détermine un point qui appartient au plan ABC donc au plan qui coupe notre tétraèdre et qui appartient aussi à l’unes des facettes de notre tétraèdre ici la facette EGH puisque en fait nous allons considérer les 2 droites BC et GH. Les droites BC et GH sont dans le même plan qui est le plan EGH donc je vais le noter.

<Schéma mathématique>

Le truc c’est que d’après notre construction, si on prend la facette ici GHE et qu’on l’a met en face de nous, et bien les droites BC et GH elles ne sont pas parallèles donc nécessairement 2 droites qui appartiennent à un même plan, c’est très important, et qui ne sont pas parallèles et bien elles sont sécantes en un point, c’est-à-dire qu’elles s’intersectent en un point 3D de l’espace. Donc nous allons construire ce point et pour le construire il suffit de prolonger GH et de prolonger BC donc on sent bien sûr que l’intersection va se situer ici donc on va prolonger GH par là et BC par là.

<Schéma mathématique>

Nous avons trouvé un point I qui est très intéressant car il appartient à notre plan ABC. Tout simplement parce qu’il appartient à la droite BC donc vu que la droite BC elle est dans la plan ABC et donc vu que I est sur la droite BC et bien I il appartient au plan ABC.

<Schéma mathématique>

I appartient aussi à la droite GH donc il appartient à la droite du dessous qui est FGH puisque GH fait partie de cette facette. I il appartient au plan rouge qui coupe le tétraèdre et il appartient aussi à la facette en dessous.

<Schéma mathématique>

Donc pourquoi c’est intéressant de dire que I il appartient à la section et aussi à la facette du dessous FGH. Et bien parce que si I appartient à la facette du dessous FGH et bien la droite AI aussi puisque A appartient aussi à FHG.

<Schéma mathématique>

Tu vois que AI et FH font partie du même plan qui est FGH.

<Schéma mathématique>

Donc là nous avons réussi à construire les 4 arrêtes du quadrilatère qui est la section plane de notre tétraèdre par le plan A, B et C. Ce qui nous restait à construire c’était les segments sur les facettes de derrière et d’en dessous puisqu’on avait déjà les segments AB et BC qui étaient sur les facettes respectivement EFG et la facette EGH. Donc il nous restait les segments de l’autre coté et en dessous du tétraèdre. Et pour arriver à construire ces segments du reste de notre section plane il fallait absolument déterminer un autre point, un point extérieur au tétraèdre EFGH et qui faisait partie de notre plan qui coupait le tétraèdre et aussi d’une des facettes de notre tétraèdre EFGH en l’occurrence le point I, il appartenait à la facette FGH et aussi au plan ABC puisque il était dans le prolongement de la droite BC. Ce point I il était intéressant parce que la droite AI du coup elle faisait partie de la facette du dessous qui était FGH et FH aussi puisque c’est une arrête de FGH. C’est une arrête du tétraèdre qui fait partie de la facette du dessous. Donc on avait 2 droites qui étaient FH et AI qui étaient coplanaires et non parallèle et qui se coupaient en ce point D qui appartient à FH et ce point D c’est exactement le point que l’on recherchait pour obtenir les 2 arrêtes restantes de la section plane. Finalement notre plan ABC et bien il crée une section plane dans le tétraèdre et il crée une section plane qui est un quadrilatère ici ABCD que l’on a construit.