1ère S Comment étudier les variations d’une fraction rationnelle ?
Ce qui est déconcertant, c’est que notre fraction rationnelle est exprimée seulement avec des inconnues. Du coup, l’exercice est assez théorique.
Pour mener une étude de variation
Pense toujours à calculer la dérivée, et à étudier son signe. Pour dresser le tableau des variations, n’oublie pas de trouver la valeur interdite, car, quand le dénominateur s’annule, une double barre doit apparaître dans le tableau des variations.
Facile, non ?
A très vite !
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Vidéo 23: 1ère S Comment étudier les variations d’une fraction rationnelle ? Ici nous devons étudier les variations de la function F: <calcul mathématique> C’est une simple fraction rationnelle avec deux polynômes en haut et en bas, de premier degré. Donc, on a A,B,C et D qui sont des constantes et C différent de zéro. Alors comment étudier les variations d’une fonction F? Et bien la première idée à laquelle tu peux penser c’est de calculer la dérivée de cette fonction. Donc, <calcul mathématique> puisque la dérivée d’une somme, c’est la somme des dérivées, et la dérivée du terme ax par rapport à x et bien c’est a. La dérivée d’une constante, c’est zéro. Et on a : <calcul mathématique> Donc, une fois que l’on a ça, on sait que la dérivée d’une fonction : <calcul mathématique> et bien il faut s’en rappeler, c’est la formule : <calcul mathématique> Donc ici, on va vraiment appliquer cela. Donc <calcul mathématique> Voilà, donc on connait la relation entre les variations de la fonction F et le signe de F prime. Donc, vu que le dénominateur de F prime est un carré, et bien ce dénominateur est toujours positif. Donc c’est le signe du numérateur qui va déterminer le signe de F prime en entier. D’accord? Donc, on va déjà essayer de simplifier un petit peu plus le numérateur – on va développer. Donc, on obtient : <calcul mathématique> Donc par miracle, on a les termes acx qui s’annulent! Donc c’est pour cela qu’il faut toujours terminer un calcul, d’accord? Donc ici on obtient : <calcul mathématique> Donc tu te rends compte que finalement le signe de F prime de x va dépendre surtout des constantes A,B,C et D, et surtout du signe de ad-bc. D’accord? Donc si ad-bc est positif, et bien F’(x) est toujours supérieur à zéro. Donc, F croit. Bien sûr il y a une valeur interdite, entre guillemets, qui correspond à la valeur de X quand le dénominateur s’annule. Et cette valeur – très rapidement je la calcule ici à droite – cette valeur est : <calcul mathématique> Donc, quand on a x=-d/c et bien c’est une valeur pour laquelle F prime, et F aussi, n’existent pas. Donc, il faut le faire apparaître dans le tableau de variation. Donc finalement pour tout x de moins l’infini à plus l’infini, excepté pour x=-d/c, on a F’(x) – dans ce cas-là, ou ad-bc est strictement inférieur à zéro – qui est positif. Donc ici on a plus, et ici on a plus. Et ici c’est une valeur interdite. Et ici on a F(x) qui est croissante. Donc on ne va pas plus loin dans l’étude pour calculer les limites quand x tend vers moins d sur c, ou vers plus l’infini et moins l’infini, car on a pas à le faire dans cet exercice-là. Donc – je finis de tracer ce tableau de variation. Et le deuxième cas, si ad-bc est strictement inférieur à zéro, alors F’(x) est négatif, puisque le dénominateur est positif et le numérateur est négatif donc la fraction est négative. Donc on a le tableau, très simple, qui ressemble à celui-ci, mais qui n’est pas pareil tout à fait. <tableau> Et ici, ça décroît. Et on a aussi le cas qu’il ne faut pas oublier, c’est lorsque ad-bc égale zéro. Et bien dans ce cas, puisque le numérateur vaut zéro, F’(x) vaut zéro. Et qu’est-ce que cela veut dire? Et bien cela veut dire que F est constante. |
Tags: calcul dérivée, fonction dérivée, fraction rationnelle, tableau de variations
2 réponses
Petite remarque concernant la dernière conclusion : f’ = 0 implique que f = cte.
C’est faux en général, si le domaine de définition n’est pas un intervalle – et c’est justement le cas ici. Pour conclure vaut mieux utiliser le fait que ad – bc = 0 signifie que (a,b) et (c,d) sont proportionnels, donc on peut simplifier la fraction rationnelle et il reste une constante.
Merci pour ta remarque MathOMan 😉 !