1ère S Comment étudier les variations d’une fraction rationnelle ?

Vidéo 23: 1ère S Comment étudier les variations d’une fraction rationnelle ?

Ici nous devons étudier les variations de la function F:

<calcul mathématique>

C’est une simple fraction rationnelle avec deux polynômes en haut et en bas, de premier degré. Donc, on a A,B,C et D qui sont des constantes et C différent de zéro.

Alors comment étudier les variations d’une fonction F? Et bien la première idée à laquelle tu peux penser c’est de calculer la dérivée de cette fonction.

Donc,

<calcul mathématique>

puisque la dérivée d’une somme, c’est la somme des dérivées, et la dérivée du terme ax par rapport à x et bien c’est a. La dérivée d’une constante, c’est zéro.

Et on a :

<calcul mathématique>

Donc, une fois que l’on a ça, on sait que la dérivée d’une fonction :

<calcul mathématique>

et bien il faut s’en rappeler, c’est la formule :

<calcul mathématique>

Donc ici, on va vraiment appliquer cela. Donc

<calcul mathématique>

Voilà, donc on connait la relation entre les variations de la fonction F et le signe de F prime. Donc, vu que le dénominateur de F prime est un carré, et bien ce dénominateur est toujours positif. Donc c’est le signe du numérateur qui va déterminer le signe de F prime en entier. D’accord?

Donc, on va déjà essayer de simplifier un petit peu plus le numérateur – on va développer. Donc, on obtient :

<calcul mathématique>

Donc par miracle, on a les termes acx qui s’annulent! Donc c’est pour cela qu’il faut toujours terminer un calcul, d’accord? Donc ici on obtient :

<calcul mathématique>

Donc tu te rends compte que finalement le signe de F prime de x va dépendre surtout des constantes A,B,C et D, et surtout du signe de ad-bc.

D’accord? Donc si ad-bc est positif, et bien F’(x) est toujours supérieur à zéro. Donc, F croit. Bien sûr il y a une valeur interdite, entre guillemets, qui correspond à la valeur de X quand le dénominateur s’annule.

Et cette valeur – très rapidement je la calcule ici à droite – cette valeur est :

<calcul mathématique>

Donc, quand on a x=-d/c et bien c’est une valeur pour laquelle F prime, et F aussi, n’existent pas. Donc, il faut le faire apparaître dans le tableau de variation.

Donc finalement pour tout x de moins l’infini à plus l’infini, excepté pour x=-d/c, on a F’(x) – dans ce cas-là, ou ad-bc est strictement inférieur à zéro – qui est positif.

Donc ici on a plus, et ici on a plus. Et ici c’est une valeur interdite. Et ici on a F(x) qui est croissante. Donc on ne va pas plus loin dans l’étude pour calculer les limites quand x tend vers moins d sur c, ou vers plus l’infini et moins l’infini, car on a pas à le faire dans cet exercice-là.

Donc – je finis de tracer ce tableau de variation.

Et le deuxième cas, si ad-bc est strictement inférieur à zéro, alors F’(x) est négatif, puisque le dénominateur est positif et le numérateur est négatif donc la fraction est négative. Donc on a le tableau, très simple, qui ressemble à celui-ci, mais qui n’est pas pareil tout à fait.

<tableau>

Et ici, ça décroît.

Et on a aussi le cas qu’il ne faut pas oublier, c’est lorsque ad-bc égale zéro. Et bien dans ce cas, puisque le numérateur vaut zéro, F’(x) vaut zéro. Et qu’est-ce que cela veut dire? Et bien cela veut dire que F est constante.