Vidéo 24: 1ère S Comment savoir si une suite est monotone ?
Alors dans cet exercice, on a une suite Un qui est définie comme suit :
<calcul mathématique>
Alors il s’agit de savoir si Un est monotone. Alors qu’est-ce que cela veut dire, monotone? Monotone, souviens-toi, veut dire que soit elle est croissante, soit elle est décroissante. Alors comment savoir cela?
Alors la plupart du temps, pour savoir si une suite est monotone, et bien il faut t’intéresser à la différence :
<calcul mathématique>
D’accord? Et cela pour tout N naturel. De cette façon, tu sauras si le rapport est positif pour tous les N naturels – si le rapport est positif tu sauras que Un est croissante, parce que tu sauras tout simplement que Un+1 sera supérieur ou égal à Un pour tout N. D’accord?
Et si tu as :
<calcul mathématique>
tu auras tout simplement Un+1 inférieur ou égal à Un pour tout N.
Et ça, et bien cela veut dire que chaque terme suivant est inférieur à son précédent, donc la suite décroit. D’accord? Donc voilà simplement un petit rappel.
Donc une fois que tu es convaincu qu’il faut s’intéresser à cette différence-là, et bien essayons de la calculer, vu que l’on a l’expression de Un.
<calcul mathématique>
Bon, alors essayons de dérouler un petit peu le calcul. Donc, si je développe ici, on a :
<calcul mathématique>
Alors ici je le mets dans la marge; il faut vraiment te rappeler qu’un nombre, disons U exposant a plus b, et bien c’est égal à U exposant a fois U exposant b. C’est une règle de calcul très importante.
Donc voilà, et ici je développe ce second terme :
<calcul mathématique>
Avançons encore un petit peu :
<calcul mathématique>
Donc une fois qu’on est là, ça peut te paraître un peu compliqué. En fait, ce qu’il faut bien voir, c’est qu’on a le terme moins 1 exposant n. Et ce terme-là, si tu réfléchis un petit peu, il dépend de la parité de n – puisque si n est pair, n=2p. Tout nombre pair se met sous la forme « 2 fois un autre nombre entier ». Donc, moins 1 exposant n, dans ce cas-là, et bien c’est égal à moins 1 exposant 2p. Et ceci est égal à moins 1 au carré, et le tout exposant p. C’est dû à une autre règle qui est celle-ci :
<calcul mathématique>
Donc ceci sont des règles sur les puissances à connaître. Donc :
<calcul mathématique>
En revanche, si n est impair, alors n=2p+1, et
<calcul mathématique>
Donc, si on revient ici à ce terme-là – en fait il faut savoir qu’il faut déterminer le signe de ce terme-là, savoir si c’est plus grand que zéro pour tout n ou inférieur à zéro pour tout n, ou aucun des deux (auquel cas la suite Un n’est ni croissante ni décroissante, elle n’est donc pas monotone).
Donc, si n est pair, alors tout de suite notons N=2p – on obtient :
<calcul mathématique>
Et si n est impair, on a N=2p+1, donc on a :
<calcul mathématique>
Bon, c’est un petit peu fastidieux à écrire, mais tout ceci est pour dire que là on va obtenir :
<calcul mathématique>
Donc on obtient au final une différence Un+1-Un qui peut être négative si N est pair et qui est positive quand N est impair – ce qui fait que cette différence-là n’arrête pas d’osciller entre au-dessus de zéro et en-dessous de zéro.
Donc, notre suite Un n’est ni croissante, ni décroissante – elle n’est donc pas monotone.
On aurait pu même s’en rendre compte tout de suite en prenant n=2, par exemple. Et donc on aurait :
<calcul mathématique>
Donc ici on avait N pair. Et quand on a N=3, on obtient :
<calcul mathémtique>
Donc on se rend compte, sur ce cas particulier, que ceci peut être négatif – dans le cas ou N-2 – et que ça peut être positif dans le cas ou N=3. Ceci nous montre que cette suite n’est jamais totalement positive pour tout N naturel, et n’est jamais totalement négative pour tout N naturel. Donc, c’est une autre façon de démontrer qu’Un n’est pas monotone.
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