1ère S Cosinus d’un angle

Comment calculer le cosinus d’un angle à partir de la valeur de son sinus ?
Bonjour à toi et bienvenu sur star en math TV.
Dans l’exercice d’aujourd’hui sur les angles et la trigonométrie, on te donne la valeur de sinus de (7Pi/10). Cette valeur elle vaut (1+ racine carrée de 5)/4
Il faut déterminer deux nouvelles valeurs : le cosinus de 7PI/10 et celle de sinus de 17Pi/10.

On va s’attaquer dans un premier temps à cosinus de 7Pi/10. Alors qu’est-ce que tu remarques ? C’est qu’on te demande de calculer le cosinus du même nombre dont tu as le sinus : 7Pi/10.
Donc, comment relier ton cosinus et ton sinus ? Donc plus précisément, comment exprimer cette valeur, 7Pi/10 en fonction d’une valeur que tu connais, l’information que tu as dans l’énoncé, à savoir ceci, la valeur du sinus en fait.
Mais comment relier cosinus de 7Pi/10 à sinus de 7Pi/10 ? Grace à la formule suivante :
« Formule mathématique »
Ça, c’est vraiment une formule qui revient très souvent en trigonométrie, le cosinus carré d’un nombre plus le sinus carré de ce même nombre -c’est très important d’avoir le même nombre dans le cosinus carré et le sinus carré- et bien la somme des deux vaut 1. Toujours, pour n’importe quel nombre.
Donc là, c’est ce qu’on va utiliser. Et nous, on recherche ceci, sans le carré bien sûr. Dans un premier temps on va calculer avec le carré parce qu’il suffit de passer le sinus carré de 7Pi/10 de l’autre coté. Et ceci, on en a la valeur. Donc notre inconnu c’est vraiment ce que j’ai entouré en rouge.

Donc on va obtenir déjà dans un premier temps :
« Calcul mathématique »
Je pense que tu es d’accord avec moi jusqu’ici, et ce que je te propose de faire c’est de remplacer sinus de 7Pi/10 par sa valeur. Donc on va calculer :
« Calcul mathématique »
Il faut penser à simplifier par 2 haut et bas parce que au numérateur tu peux factoriser par 2 et au dénominateur aussi. Tu obtiens :
« Calcul mathématique »
Voilà le résultat assez simple, assez propre de cosinus carré de 7Pi/10.

Alors ça c’est une première étape mais nous, ce qu’on veut c’est la valeur de cosinus de 7Pi/10.
Alors il va falloir se débarrasser du carré. Et déjà il faut vérifier une chose, c’est que vu que cosinus carré de 7Pi/10 c’est un nombre au carré, il faut vérifier que ça, c’est bien positif.
Et bien oui, c’est bien positif parce que le dénominateur c’est 8, c’est positif. Et 5 moins racine carrée de 5 est-ce que c’est positif ? Et bien oui parce que racine carrée de 5 c’est plus petit que 5.
Donc là, on obtient bien quelque chose de cohérent, on obtient bien quelque chose de positif, qui peut être égal à un carré. Parce que si tu avais obtenu quelque chose de négatif ici, tu aurais fait probablement une erreur de calcul parce que ça voudrait dire que cosinus de 7Pi/10 n’existe pas.
Ça c’est une façon de vérifier un petit peu ton calcul.

Alors maintenant, pour enlever le carré, il faut faire très attention, quand tu as l’équation disons A au carré égal un nombre positif, donc là, 5 moins racine de 5, le tout sur 8, donc on va dire C supérieur à 0.
Comment tu résous ce genre d’équation, sachant que ton inconnue c’est A, tu connais C. Pour résoudre cette équation il faut que tu dises que c’est équivalent à : soit A vaut racine carrée de C, ça c’est une première possibilité. Ou, il ne faut jamais oublier cette deuxième possibilité : A vaut moins racine carrée de C
Donc ça, c’est exactement ce que nous allons appliquer ici, c’est-à-dire que le cosinus de 7Pi/10, tu vas pouvoir enlever le carré en mettant racine carrée de tout ça ou moins la racine carrée de tout ça. D’accord ?
C’est très important ceci, c’est très important que tu connaisses cette équivalence. Ça provient de l’identité remarquable a carré moins b carré, mais on ne va pas le démontrer ici. Donc c’est équivalent à :
« Calcul mathématique »

ET comment on va trancher entre ces deux cas-là ? ET bien ça, tu remarques déjà que racine carrée de quelque chose c’est positif et moins racine carrée de quelque chose, c’est négatif.
ET toi, comment tu vas trancher entre ces deux cas-là ? Comment tu vas savoir la vraie valeur de 7Pi/10 ?
Et bien il faut tout simplement comprendre où 7Pi/10 radians est placé sur le cercle trigonométrique, que je vais faire là, sachant que tu as ici l’angle Pi/2. Et Pi/2 est très important parce que quand tu as des angles entre -Pi/2, ici, et Pi/2, des angles comme ceci, qui se placent comme cela, et bien leur cosinus il est de quel signe ?
Parce que là, comment on va pouvoir trancher grâce au signe du cosinus ? Et bien leur cosinus il est positif. Or, où est placé notre angle 7Pi/10 sur ce cercle trigonométrique ?
Et bien il est placé au-delà de 7Pi/10 parce que tout simplement, 7Pi/10 c’est plus grand que 5Pi/10 et 5Pi/10 c’est Pi/2. Donc il faut absolument que tu compares cet angle, 7Pi/10 à Pi/2. Et donc là, tu remarques que 7Pi/10 ce serait plutôt vers là.
Ça ce serait 7Pi/10. Et il ne peut pas être placé avant 7Pi/10 parce que 7Pi/10 est plus grand que Pi/2 et c’est aussi inférieur à Pi. Tu peux placer si tu veux le Pi, pour bien visualiser tous tes angles. Et l’angle rouge, c’est 7Pi/10.

Et donc qu’est-ce que ça veut dire maintenant, sur son cosinus ? Et bien ça veut dire qu’il est négatif.
Tu vois, son cosinus, c’est exactement cette valeur-là que je vais faire figurer en vert. Tu reportes perpendiculairement sur l’axe horizontal et c’est cette valeur-là.
ET quand tu es à gauche du centre du cercle la valeur représentée en vert est négative. Donc son cosinus à 7Pi/10, qui est exactement cette valeur représentée en vert, est négatif.
Donc en fait, on se trouve dans ce cas-là. Donc en fait la vraie valeur, ce n’est pas ça, c’est celle-ci.
Donc c’est moins racine carrée de (5-racine de 5, le tout sur 8). Donc c’est ça qu’on garde comme valeur de cosinus de 7Pi/10.

Voilà donc j’espère que tu as bien compris cette première partie de la question, donc comment on a relié dans un premier temps cosinus de 7Pi/10 à sinus de 7Pi/10 et ensuite dans un deuxième temps comment on a tranché entre les deux valeurs possibles que pouvaient prendre cosinus de 7Pi/10.
Et comment on a tranché ? Et bien tout simplement en comparant 7Pi/10 ici à Pi/2. Parce que Pi/2 ici, c’est un endroit de changement de signe pour cosinus. Pour x compris entre 0 et Pi/2 cosinus est positif. Et à partir de Pi/2 jusqu’à Pi, le cosinus est négatif.
Donc c’est comme ça que ça te permet de trancher et de garder la valeur négative du cosinus de 7Pi/10. Voilà, parce que cosinus de 7Pi/10 ne peut être que négatif.
Maintenant nous allons passer à la deuxième partie de la question.

1ère S
Cosinus d’un angle
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Calcul d’un sinus différent

A présent pour déterminer la valeur de sinus de 17PI/10, connaissant la valeur de sinus 7Pi/10 et aussi maintenant connaissant la valeur de cosinus de 7Pi/10. Tu as aussi cette deuxième information-là.
Saches que quand tu résous des questions, au fur et à mesure, les résultats deviennent des données qui s’ajoutent à celle de l’énoncé. Donc il ne faut jamais oublier ça. Alors est-ce que la valeur de cosinus de 7Pi/10 ici va nous servir ?
En fait, pas vraiment puisque sinus de 17PI/10, il faut remarquer que 17Pi/10, à quoi c’est égal comme angle par rapport à 7Pi/10?
Et bien c’est égal à 7Pi/10 (l’angle qui nous intéresse ici) plus 10Pi/10. Tout simplement. C’est-à-dire que quand tu ajoutes les deux tu trouves bien 17Pi/10.
Et qu’est-ce que c’est que 10Pi/10 ? Et bien c’est Pi. Donc ici tu as 7Pi/10+Pi.

Et en quoi ça va nous aider ? Et bien tout simplement, lorsque tu prends le sinus de cet angle, le sinus de 17Pi/10 et bien c’est égal à sinus de (7Pi/10 + Pi).
Et maintenant, comment relier le sinus de (7Pi/10 + Pi) au sinus de 7Pi/10 ? EN fait soit tu connais ta formule de sinus (a+b) qui vaut tu te souviens : sinus a cosinus b + sinus b cosinus a.
Soit tu traces un cercle trigonométrique, tu places ton angle 7Pi/10. Souviens-toi qu’il est placé comme ceci à peu près, il est entre Pi/2 et Pi. Là tu as 7Pi/10 et à 7Pi/10, tu vas ajouter Pi. Et qu’est-ce qu’on va obtenir comme angle ?
Et bien tu ajoutes Pi, donc l’angle plat, je vais la faire en mauve cette petite opération et donc là, tu fais Pi, tu t’arrêtes là et donc tu vas obtenir cet angle-là. C’est tout cet angle-là si tu veux.
Et donc maintenant, qu’est-ce que tu remarques entre le sinus de 7Pi/10 qui est cette valeur-là, verticalement, et le sinus de 17Pi/10 qui est cette valeur-là.
Et bien, ce n’est pas une démonstration, c’est sûr, mais tu remarques que le sinus de 7Pi/10, c’est en fait, moins le sinus de 17Pi/10. 17Pi/10 c’est l’angle en rouge, qui est aussi cet angle-là, je vais le faire figurer en rouge aussi.
Le sinus de 17Pi/10 c’est moins le sinus de 7Pi/10.

En gros, ce qu’il faut retenir comme formule… C’est peut-être un petit peu compliqué ce que je t’explique là sur le cercle trigonométrique, mais c’est comme ça que tu peux retenir la formule que je vais t’écrire tout de suite en noir :
« Formule mathématique »
Et ceci est valable pour n’importe quelle valeur de a.
Donc là, qu’est-ce que tu peux écrire tout simplement ? Et bien tu peux écrire qu’ici, sachant que ton a c’est 7Pi/10, c’est moins sinus 7Pi/10.

Donc sinon, pour redémontrer cette petite formule en noir, je te disais qu’il faut revenir à la formule de base de sinus de (a+b) sachant que le a c’est 7Pi/10 et le b c’est Pi.
Et sinus de (a+b) rappelle-toi c’est sin a *cos b + sin b*cos a. Et tu vas voir qu’il y a un terme là-dedans qui s’annule.
Et c’est ceci qui te permet de retrouver cette formule en noir que tu peux retrouver très facilement, tu vois visuellement, grâce à ce cercle trigonométrique. C’est comme ça que je t’encourage à la mémoriser.

ET donc là, maintenant ça va être très simple de calculer sinus de 17Pi/10, puisque je te rappelle que c’est ça notre inconnue, parce que tu connais sinus de 7Pi/10. Et sinus de 7Pi/10 c’est 1 plus racine carrée de 5, le tout sur 4.
Donc on va mettre :
« Calcul mathématique »
Voilà donc la valeur de sinus de 17Pi/10 tout simplement. En fait, l’astuce ici, c’était de remarquer que cet angle 17Pi/10, s’exprime en fonction de 7Pi/10 juste en ajoutant Pi. Tu vois, c’est 7Pi/10+Pi.
Et c’est ça qui nous a permis de calculer son sinus très facilement.

Voilà donc j’espère que tu as compris cet exercice. Ça sert vraiment à comprendre comment fonctionnent ces fameuses fonctions trigonométriques cosinus et sinus.
Tu as vu là on a fait deux cercles trigonométriques. Je t’encourage vraiment à dessiner ton cercle trigonométrique toujours sur ton brouillon pour bien visualiser comment fonctionnent ces fonctions.