1ère S Reconnaître la courbe d’une fonction polynôme du 2nd degré

Comment reconnaitre la courbe d’une fonction polynôme du 2nd degré ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette vidéo Star-en-maths, j’espère que tu vas bien.
Alors en fait dans l’exercice d’aujourd’hui, il va falloir attribuer à chaque courbe que tu as sous les yeux, sur le graphique suivant, la fonction qui lui correspond.
Donc tu vois tu as 5 fonctions écrites en noir là-haut et il va falloir que pour chaque fonction tu trouves la courbe correspondante.

Donc ce qu’il va falloir faire, vu que tu vois que toutes ces fonctions sont des fonctions polynômes du second degré, c’est-à-dire de la forme ax2+bx+c, et bien il va falloir utiliser tes connaissances sur ce chapitre, les polynômes du second degré, aussi appelés trinômes ou encore fonctions carrés.
Et donc, en particulier, ce que nous allons utiliser comme information du cours, c’est que quand tu as un polynôme du second degré sous les yeux, donc par exemple f(x) ici : 2×2-5x+3, qu’est-ce que tu peux savoir sur sa courbe à ce polynôme ? En regardant son équation, ses coefficients en particulier ?
Et bien c’est à ça qu’on va s’intéresser. Qu’est-ce que tu peux savoir ? Essaie de te poser la question : qu’est-ce que tu peux savoir sur la courbe d’un trinôme en regardant le trinôme ?
Donc le trinôme ici, le premier, on va s’intéresser à f(x), et bien c’est 2x carré – 5x+3. Le petit a vaut 2 : tu te souviens, un polynôme du second degré c’est ax2+bx+c. Souvent il est ordonné comme ça et le a c’est le coefficient devant le x carré. Le b, devant le x et le c c’est la constante à la fin.

Le a ici vaut 2. Est-ce que tu te souviens de ce que te dit le petit a, et en particulier, le signe du a ?
Et bien en fait je vais te le rappeler, le signe du a : lorsque le a est positif : la courbe, c’est une parabole toujours, une parabole c’est une sorte de cloche tournée soit vers le haut, soit vers le bas : si le a est positif, la parabole est tournée vers le haut.
Donc là, c’est ce qu’on remarque pour le polynôme f(x), tu vois le a vaut 2, ça veut dire que forcément, la courbe correspondante, sa parabole, est tournée vers le haut.
Ça veut dire que la parabole correspondant à f(x), c’est soit la noire, soit la verte, soit la rouge. Ça ne peut pas être la orange ni la bleue puisque la orange et la bleue sont tournées vers le bas.

En fait, tu te souviens qu’on dit d’une parabole qu’elle est tournée vers le haut, quand elles ouvrent ses bras vers le haut et elle est tournée vers le bas quand elle tourne ses bras, ses branches vers le bas.
Tu vois bien par exemple si on prend la courbe noire, qu’elle ouvre ses bras vers le haut.
Donc c’est ça qu’on va utiliser, et c’est une information importante, la première, c’est une information très importante qui va te servir jusqu’à la fin du lycée, voir plus si tu continues à faire des mathématiques après : c’est que, je vais le marquer en bleu, le signe de a indique si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas.
Donc en résumé : si a est positif, la parabole est tournée vers le haut, c’est-à-dire qu’elle est comme ça : hop, je fais un petit dessin. Et si a est négatif, elle est tournée vers le bas.
Ça ne nous dit rien sur la largeur ou la « grosseur » de la parabole ou si elle coupe l’axe des abscisses ou quoi que ce soit. Non, le signe de a nous dit juste qu’elle est soit tournée vers le haut, soit tournée vers le bas.

Donc ré intéressons nous un petit peu à la fonction f(x) : donc son petit a, c’est deux, donc c’est soit la courbe noire, soit la verte, soit la rouge. Bon et maintenant, comment on va trancher, ce serait bien de trancher quand même.
Donc là maintenant, on va utiliser une autre information, c’est que : tu te souviens qu’un polynôme du second degré peut avoir 2 racines on appelle ça. Tu te souviens, une racine c’est un nombre x tel que la courbe coupe l’axe des abscisses, l’axe des x qu’on peut faire apparaitre ici.
Donc les endroits où la courbe coupe l’axe des abscisses, c’est ce qu’on appelle les racines. C’est aussi les solutions de l’équation f(x)=0. C’est la même chose en fait, les racines ce sont les x tels que f(x) s’annule, c’est à dire que le f(x), le y en fait, il est égal à 0, la courbe passe par l’axe des abscisses. C’est ça que ça veut dire.
Donc regardons un petit peu la courbe noire. La courbe noire elle passe combien de fois par l’axe des abscisses ? Elle ne passe qu’une seule fois. Ça veut dire que le trinôme correspondant a une seule racine.
Si je regarde la courbe verte : elle ne passe pas par l’axe des abscisses donc ça veut dire que le trinôme correspondant n’a pas de racine. Il n’ya pas de solution à l’équation trinôme vert égal 0.
Si on regarde la courbe du trinôme rouge, elle passe une ou deux fois par 0. Ça n’a pas l’air très clair, je pense que c’est une seule fois, donc ça veut dire une racine pour le trinôme rouge.

Tu vois, ce sont des informations qui vont nous aider.
Si on regarde la courbe du polynôme orange, elle passe deux fois par l’axe des abscisses, tu vois, à peu près en -3 et en 0.5.
Ça veut dire que -3 et 0.5 sont les deux racines du polynôme orange.
Et la courbe bleue, finissons en un petit peu avec ces considérations, elle ne passe pas par l’axe des abscisses, donc pas de racine pour le polynôme bleu.

Et tu te souviens, au niveau calcul maintenant, pas au niveau graphique, qu’est-ce qui te donne des informations sur les racines ?
Et bien c’est Delta tout simplement. Pourquoi on calcule Delta c’est pour savoir justement s’il y a soit deux racines, dans quel cas Delta est positif. Si Delta égal 0, il y a une seul racine, et si Delta est négatif strictement, il y a 0 racine réelle. Tu verras en Terminal S qu’il y a deux racines qui sont des nombres complexes, mais en 1ère S, ce n’est pas le cas encore.
Donc là, ce qui va nous intéresser, c’est Delta. Pour chacun des polynômes on va calcules Delta. Et si par exemple pour f(x), en calculant Delta, tu trouves que delta est positif, ça voudra dire qu’il y a 2 racines réelles, donc ça voudra dire que sa courbe passe 2 fois par l’axe des abscisses. ET c’est ce qu’on va faire.
Et donc je vais indiquer cette deuxième information très importante qui va nous permettre pour chaque polynôme de coller la courbe.
Donc la deuxième information c’est que le signe de Delta, on l’appelle aussi le discriminant, indique s’il y a 0, 1 ou 2 racines. autrement dit, au niveau graphique, ça veut dire que le signe de Delta indique si la courbe du polynôme passe 0 fois, une fois (c’est-à-dire qu’elle touche l’axe des abscisses) ou 2 fois par l’axe des abscisses.
Donc plus précisément : si delta est strictement positif, tu te souviens il y a deux racines : x1 et x2 : on n’a pas besoin de connaitre leurs formules ici, ça ne sert pas forcément. Donc il y a deux racines. Tu te souviens les formules pour connaitre les deux racines, pour les trouver, les calcules : c’est -b-racine de delta, le tout sur 2a. Et -b + racine de delta, le tout sur 2a. Souvent elles sont notées x1 et x2.
Si delta égal 0, il y a une seule racine, ça veut dire que la courbe passe une seule fois par l’axe des abscisses. Ça correspondrait à la courbe noire ou la courbe rouge à priori.
Et enfin, si delta est négatif, et bien il n’y a pas de racine. Ça veut dire que la parabole correspondante ne passe jamais par l’axe des abscisses. C’est le cas de la courbe bleue et aussi de la courbe verte.

Je pense que tu as compris. Donc ce qu’on va faire c’est calculer delta pour chacun des 5 polynômes suivants et je t’encourage à faire les calculs, on va les faire maintenant.

1ère S
Reconnaître la courbe d’une fonction polynôme du second degré
vidéo 2/2
Mise en pratique du principe expliqué dans la vidéo précédente

Donc c’est parti on va calculer delta pour le premier polynôme f(x). Donc je t’encourage à faire vraiment les calculs juste avant moi ou en même temps que moi.
Ça entraine vraiment les calculs de discriminant, les calculs de delta. C’est vraiment très fréquent en mathématiques en lycée.
Donc pour f : tu te souviens de la formule pour calculer delta. Pour f, le delta c’est b carré moins 4ac. C’est ça la formule générale. Je vais la rappeler ici : b carré moins 4ac.
Et si tu appliques bien cette formule tu ne te tromperas jamais dans le calcul de delta. En fait il faut bien reconnaitre ce que c’est que le a, le b et le c dans ton polynôme.
En fait c’est tout simple, le a c’est 2, le b c’est -5, il faut bien inclure le – et le c c’est 3. A partir du moment où tu ne te trompes pas en copiant cette petite formule : en remplaçant b par -5, a par 2 et c par 3, et bien tu ne feras pas d’erreur pour le calcul de delta.

En fait ce que je t’encourage à faire dès que tu calcules delta, c’est une petite technique, c’est toujours de rappeler la formule ici, tu la réécris et ensuite tu remplaces rigoureusement, tranquillement, les inconnues enfin les nombres b, a et c par ce qu’ils valent.
Tu vois, là j’ai recopié la formule générale et c’est parti, on remplace, donc ça va donner : b carré c’est quoi ? Et bien c’est -5, le tout au carré, parce que c’est tout b qui est au carré.
Donc là, tu vois, la petite erreur que tu aurais pu faire, c’est de ne pas mettre les parenthèses. Attention à cette petite erreur. Souvent quand on va trop vite dans le calcul de delta, on peut oublier des moins ou faire des erreurs de ce type là. Il faut faire vraiment attention.
Donc là c’est b carré, donc -5 le tout au carré, et – 4, tu vois je recopie vraiment bien, -4 fois a, qu’est-ce que c’est que le 4, et bien c’est 2. Donc -4*2*c. et le c c’est quoi ? Le c c’est 3. Tu vois on remplace tranquillement les nombres a, b et c par ce qu’ils valent.
Et là, c’est parti on fait notre petit calcul et on va trouver tout simplement :
« Calcul mathématique »
Ça nous fait 1.

Donc qu’est-ce qu’on remarque sur ce delta ? Et bien ce delta il est strictement positif. En fait, on s’en fiche un peu de sa valeur. Ce qui nous intéresse, c’est son signe. Et 1 on sait que c’est strictement positif.
Donc ça veut dire qu’il y a deux racines réelles.
Donc ce qu’on vient de trouver, c’est tout simplement que la courbe du polynôme f, elle passe deux fois par l’axe des abscisses.
Autre information aussi qu’on utilise, c’est ce que j’avais marqué ici, c’est le signe de a. Le signe de a pour le polynôme f, c’est le signe de 2 puisque a c’est 2.
Donc ça veut dire que la parabole correspondant à la fonction f, elle est tournée vers le haut.

Donc quelle est la courbe, parmi celles qu’on a sous les yeux, qui est tournée vers le haut et qui passe deux fois par l’axe des abscisses ?
Bon ici, ce n’est peut être pas très clair mais si tu t’approches un peu, et bien il apparait que c’est la courbe rouge, tout simplement. La courbe rouge, elle passe ici deux fois par l’axe des abscisses, même si ce n’est pas très très clair, on a l’impression qu’elle passe plutôt une fois.
En fait elle la coupe deux fois, tu vois ici, un peu avant 1 et peut être vers 1.5 aussi. Donc je vais faire apparaitre les deux racines que tu pourrais calculer d’ailleurs. Ici et peut-être là, ce n’est pas très précis. Voilà les deux racines x1 et x2.
Donc tu pourrais les calculer si tu voulais pour aller un petit peu plus loin dans cet exercice. Il suffit des les calculer avec le delta que tu as calculé, c’est 1 :
« Formule mathématique »
En remplaçant le b, le delta et le a dans ces formules, tu trouveras le x1 et le x2.
Donc là, on pense quand même que c’est la courbe de f. Et on va procéder exactement de la même façon pour les 4 autres fonctions qu’on a sous les yeux.

Donc c’est parti pour le polynôme g : je t’encourage à ne pas être fainéant et à vraiment faire le calcul de delta. Donc pour g, c’est parti, on calcule delta :
Delta c’est b carré moins 4ac, tu vois je rappelle tout le temps la formule. Et là, on remplace posément chaque nombre b, a et c par ce qu’ils valent. Le b, c’est combien ? C’est 1, c’est le coefficient devant le x. tu te souviens les a, b et c ne contiennent jamais les x, c’est juste les nombres devant x carré, devant le x et le dernier nombre, c’est c.
Donc là, ça va être :
« Calcul mathématique »
Donc on trouve -11. C’est donc un delta négatif strictement et ça, ça veut dire qu’il n’y a pas de racine. Autrement dit, graphiquement ça veut dire que la courbe parabole de g ne passe pas par l’axe des abscisses.
Autre chose, autre information, c’est que vu que le a vaut 1, la parabole correspondant à g est tournée vers le haut. Elle est tournée vers le haut, elle ne coupe jamais l’axe des abscisses, donc il apparait que c’est la courbe verte tout simplement. Il n’y a que celle-ci qui satisfait ces deux conditions là : tournée vers le haut, je rappelle, et ne coupe jamais l’axe des abscisses.
Donc on va l’indiquer : la courbe correspondant à g, et bien c’est la courbe verte : ça, c’est Cg.

Voilà, donc maintenant on va faire le calcul pour la fonction h. Donc le delta de la fonction h, on va noter la formule, je t’encourage toujours à faire comme ça : b carré moins 4ac. Ça t’évitera vraiment beaucoup d’erreurs de calcul.
On remplace le b par ce qu’il vaut, c’est 2, le a c’est -1 et le c, c’est -3. On fait le calcul :
« Calcul mathématique »
Donc ça nous donne -8. On trouve un delta négatif donc ça veut dire pas de racine. On a aussi le fait que le a c’est -1, donc ça veut dire que la parabole correspondant à la fonction h est tournée vers le bas, elle ouvre ses bras vers le bas. C’est comme ça que tu peux te souvenir de ce que ça veut dire « tournée vers le haut ou tournée vers le bas ».
Il faut regarder les bras en fait. Si les bras sont ouverts vers le haut, elle est tournée vers le haut, et si les bras s’ouvrent vers le bas, elle est tournée vers le bas. On dit ça comme ça.
Donc là, on répète, tournée vers le bas et aucune racine. Donc en fait, c’est la courbe bleue. La courbe de la fonction h, c’est la courbe bleue.

Allez, on avance bien, on s’intéresse à l’avant-dernier polynôme. ON calcule son delta, c’est-à-dire le polynôme p. Delta égal b carré moins 4ac. On remplace le b par -5, le a par -2 et le c par 3. On va trouver :
« Calcul mathématique »
Ça va donner 49. Peu importe la valeur de delta, ce qui nous importe c’est le signe. C’est positif, c’est-à-dire qu’il y a deux racines réelles.
Et vu que le petit a est négatif, elle est tournée vers le bas la parabole de p. Donc forcément c’est la courbe orange : tournée vers le bas, 2 racines réelles, ça veut dire qu’elle coupe deux fois l’axe des abscisses.
Tu pourrais calculer ces deux nombres d’ailleurs. Il semble que ce serait à peu près -3 et 0.5. Je t’encourage à aller un petit peu plus loin et calculer le x1 et le x2, tu vas voir que ça correspond à ce -3 et à ce 0.5 à peu près.
Donc là, on va indiquer que c’est la courbe orange : ça, c’est la courbe de p.

Et par déduction, on pourrait s’arrêter là, forcément la courbe noire, c’est la courbe de q. On va quand même le vérifier très rapidement.
Donc calculons le delta pour q même si ce n’est pas nécessaire : on pouvait s’arrêter là. Dans un devoir surveillé, tu pourrais t’arrêter là puisque tu as déduit, c’est une déduction, puisque tu as collé ces quatre fonctions à quatre des cinq courbes du graphique, donc forcément la courbe qui reste, c’est celle qui correspond au polynôme q.
Mais bon on va quand même vérifier : delta, c’est b carré moins 4ac. Le b c’est 1, le a c’est 1 et le c 1/4. Ça va nous donner :
« Calcul mathématique »
Ça va nous donner 0. Evidemment c’est le cas qui nous restait, c’est-à-dire une seule racine, c’est-à-dire que la courbe correspondante passe une seule fois par la courbe des abscisses.
Comment une parabole peut passer une seule fois par l’axe des abscisses ? Et bien seulement en l’effleurant un petit peu. Tu vois il y a juste un effleurement qui se situe juste ici : c’est l’unique racine du polynôme q. tu pourrais la calculer. Quelle est la formule quand delta vaut 0, pour calculer l’unique racine ?
Et bien c’est -b/2a. En fait c’est la même formule que -b moins racine de delta, ou plus racine de delta, le tout sur 2a, sauf que le delta vaut 0 donc il ne reste que -b/2a. D’accord ?
Tu pourrais calculer la racine de q en faisant -2/2a, d’ailleurs on peut le faire très rapidement, ça fait -1 sur 2, ça fait -0,5. Et c’est cohérent avec le graphique, tu as vu ici, la parabole noire, coupe, effleure l’axe des abscisses, ou est tangent à l’axe des abscisses quand x vaut -0,5. Donc ça, c’est la courbe de q. D’ailleurs elle est bien tournée vers le haut puisque le a vaut 1.

Voilà pour cet exercice. J’espère que tu as bien compris comment associer chaque courbe à chaque polynôme du second degré. Ça utilise vraiment tes connaissances du cours sur les polynômes du second degré.
Plus précisément, les deux informations qu’on a utilisées, c’est que le signe de a, très important comme information, t’indique si la parabole est tournée vers le haut ou tournée vers le bas.
Et le signe de delta, très important aussi, t’indique si la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses, ou une fois, ou zéro fois, quand delta est strictement négatif.
Voilà, je te dis à la prochaine dans un autre exercice.