1ère S Définition analytique d’une transformation du plan

1ère S Définition analytique d’une transformation du plan (1/2)

Comment démontrer la nature d’une transformation dans le plan à partir de sa définition analytique ?

Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv. Dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons considérer la transformation h du plan défini analytiquement par x’=-4x+6 et y’=-4y+10.

La question de cet exercice est de savoir quelle est la nature de h donc de cette transformation dont on a une définition analytique. Alors qu’est ce que c’est qu’une définition analytique d’une transformation dans le plan ?

En fait plutôt que de définir une transformation géométriquement tu sais par exemple on peut définir une homothétie par son centre et son rapport et dire que vectoriellement et bien si elle est de centre I, IM’=kIM sachant que k est son rapport et M est un point du plan et M’ son transformé par cette homothétie. Donc ça, ça serait une façon géométrique de définir cette homothétie mais on peut aussi définir une homothétie de façon analytique, c’est à dire en faisant intervenir les coordonnées du point M, de son centre et du point M’, c’est à dire le transformé du point M.

Donc plus particulièrement dans notre exercice, intéressons nous à ce système ici. En fait on ne sait pas, moi je t’ai donné l’exemple d’une homothétie mais on ne sait pas si h c’est une homothétie ou pas. Donc qu’est ce que c’est que x’ et y’ déjà? Et bien en fait x’ et y’ sont les coordonnées d’un point M’

<calcul mathématique>

Ce qui fait que nous dans un repère orthonormé et bien on connaitrait, si on connaît les coordonnées du point M initial, et bien on connaitrait les coordonnées du point M’ qui est le transformé de M par H. Et bien c’est à sa que ça sert une définition analytique d’une transformation dans le plan. Ça sert à partir des coordonnées d’un point M initial et bien à déterminer les coordonnées du point M’ qui est le transformé de M par la transformation.

Souvient toi en fait, « analytique » ça fait intervenir les coordonnées. Donc xy et si tu es en 3eme dimension xyz. Donc maintenant comment déterminer la nature de notre transformation? La nature ça peut être une homothétie, ça peut être une transformation, ça pourrait être une rotation etc…on ne sait pas.

Donc souvent ce qui est intéressant quand tu as une définition analytique d’une transformation c’est de s’intéresser au point fixe de cette transformation. C’est à dire essayer de chercher à savoir si cette transformation a un point qui reste le même quand on le transforme par cette même transformation ?

Alors plus particulièrement si tu prends comme exemple l’homothétie et bien le centre d’une homothétie c’est un point fixe dans cette homothétie. Donc si tu essayes de transformer le centre d’une homothétie par cette même homothétie et bien ça reste lui même. Donc ça c’est un point fixe. Si tu prends comme autre transformation une rotation par exemple. Et bien si tu prends une rotation de centre O et que tu essayes de transformer le point O par cette même rotation et bien ça restera lui même.

Donc pareil, là on a affaire à une transformation qui possède un point fixe donc c’est toujours une bonne direction à prendre quand tu as une définition analytique c’est de chercher à savoir premièrement s’il y a un point fixe.

Alors comment on va faire, et bien nous dans notre cas ça voudrait dire que si on prend un point M de coordonnées (x ; y) et qu’on le transforme par h et bien il donne un point M’ qui serait de coordonnées (x’; y’) toujours bien sur mais si c’est un point fixe et bien ça donnerait :

<calcul mathématique>

Et bien analytiquement comment ça se traduit et bien ça veut dire que x’= x et que y’=x.

Donc en fait on aurait ici :

<calcul mathématique>

Donc ici ce qu’on obtient c’est un 2 équations et chaque équation ne comporte qu’une inconnue donc c’est un système d’équation très très simple !

<calcul mathématique>

Ici on a bien un point fixe pour cette transformation donc déjà ça restreint le nombre de transformations possibles pour h. h par exemple ne peut pas être une translation parce que tu sais surement qu’une translation c’est une transformation dans le plan qui n’a pas de point fixe.

Il n’y a aucun point qui quand tu le transforme par une translation et bien reste lui même sauf si bien sûr c’est une translation de vecteurs nuls. Mais bien sûr une translation de vecteurs nuls ici ça ne semble pas être le cas puisque une translation de vecteur nul c’est l’identité, on appelle ça.

C’est à dire que c’est une transformation qui transforme n’importe quel point en lui même c’est à dire que c’est une transformation qui ne fait rien du tout. Donc ici à priori on n’a pas ça puisque on a un seul point fixe qui est de coordonnées (65; 2) et maintenant ce qu’on peut faire c’est nommer ce point fixe.

<calcul mathématique>

Alors pourquoi faire ça ? Et bien parce que par exemple pour une homothétie tu sais que OM’=kOM donc si on arrive à trouver dans le cadre de notre transformation ici h que OM’=kOM alors on aura démontré que notre transformation h est une homothétie et bien sûr on aura trouvé le k. Donc ce qu’on peut essayer de faire c’est ça, démontrer que c’est une homothétie en comparant les vecteurs OM’ et OM.

1ère S Définition analytique d’une transformation du plan (2/2)

Donc écrivons le vecteur OM’.

<calcul mathématique>

Voilà ! Donc maintenant on va essayer de comparer ces coordonnées là de vecteurs bien sur toujours en utilisant la définition analytique. Puisque tous les raisonnements que l’ont fait dans cet exercice se basent sur l’information principale qu’on nous donne à savoir la définition analytique de notre transformation c’est à dire la relation entre x’ et x et la relation entre y’ et y.

<calcul mathématique>

Qu’est ce que j’ai fait ici ? J’ai juste traduis cette équation là puisque (x’-65) et (y’-2) sont les coordonnées du vecteur OM’ et bien sûr (x-6/5) et (y’-2) sont les coordonnées du vecteur OM. Donc j’ai juste écrit cette équation là sous forme analytique.

Donc peut être qu’on s’en rapproche d’une forme analytique comme celle ci qui ressemble à celle ci. Pourquoi ? Et bien parce que si tu regardes bien ici on a : x’-65 donc ça, c’est égal à tout ça. Mais si je mets en facteur -4 qu’est ce qu’on va obtenir ?

<calcul mathématique>

Voilà ! Donc en fait on a retrouvé exactement cette définition analytique qui est celle d’une homothétie de centre (65 ; 2) donc les coordonnées du point O ici qu’on a noté O et de rapport k et notre k ici on a trouvé -4.

Donc c’est une exercice qui n’est pas évident puisqu’on on te demande la nature d’une transformation dans le plan mais cette transformation ça peut être n’importe quoi donc il faut un petit peu de flair, savoir quelle direction on prend.

Donc déjà ce que je te recommande de faire c’est tout de suite de chercher à savoir si notre transformation a un plan fixe si elle n’en a pas déjà ça peut très bien être soit l’identité soit une translation etc.

Ensuite, là peut être qu’on pressentait puisqu’il y avait -4x et -4y donc on retrouvait le -4. On pressentait peut être que notre transformation c’était une homothétie. Donc ce qu’il faut faire c’est essayer de trouver un rapport entre OM’ et OM. Analytiquement tu traduis cela avec ce système ici. Et bien on a exactement trouvé ces relations là :

<calcul mathématique>

Est ce que tu as compris un peu comment on a utilisé la définition analytique de notre transformation pour montrer que notre transformation est une homothétie ?