1ère S Démontrer une égalité trigonométrique avec cosinus et sinus

Comment démontrer une égalité en trigonométrie ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette nouvelle vidéo star en maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice il va falloir démontrer l’égalité suivante. C’est-à-dire que pour x appartenant à l’intervalle ]0;pi[, 0 exclu et Pi exclu, et bien (1-cosx)/sinx = sinx/(1+cosx).
Donc cette égalité, c’est quelque chose que tu pourrais très bien avoir à démontrer si tu es en première S et que tu as fait le chapitre sur la trigonométrie.
Ça parait difficile comme ça de démontrer cette égalité. En plus on nous dit pour x appartenant à ]0;Pi[. Bon, on va essayer d’expliquer chaque chose.

Donc déjà, ceci, en bleu clair. On nous dit pour x appartenant à ]0;Pi[. On pourrait se dire que ça va servir, peut-être pour la démonstration.
En fait, ça ne va pas vraiment servir à démontrer l’égalité mais c’est important de le dire. Pourquoi c’est important de dire que x appartient à cet intervalle avec 0 exclu et Pi exclu ?
Et bien tout simplement parce que dans ces expressions, à gauche et à droite du égal, tu as un sinus x au dénominateur et tu as 1+cosx au dénominateur. Bref, tu as des dénominateurs.
Et en mathématiques, tu sais bien qu’il y a une chose importante, c’est qu’un dénominateur ça ne doit jamais être égal à 0.
C’est comme ça, c’est d’ailleurs une façon de trouver une valeur interdite quand tu as des expressions avec un quotient. Il faut s’assurer que le dénominateur ne soit pas égal à 0.
Et bien là, c’est pareil. Dès que tu écris un truc, avec un quotient, il ne faut pas que le dénominateur s’annule.

Donc sinus x, est-ce que tu penses que c’est égal à 0 quand x varie de 0 à Pi ?
Et bien en fait on peut faire très rapidement un petit cercle trigonométrique. Et tu te souviens que le sinus de x, quand x est un angle qui varie sur ce cercle… Là tu as un petit angle x.
X démarre de cette barre bleue à droite. Il vaut 0 si la barre rouge est confondue avec la barre bleue. Et tu peux le voir augmenter cet angle et il augmente ici jusqu’à Pi quand t’arrives à ce point-là. Tu pars de ce point-là et tu arrives à ce point-là pour définir ton angle.
Et en fait, le sinus, tu te souviens, de x, il se lit sur l’axe des y, sur l’axe vertical.
Donc à ton avis, quand x varie de 0 exclu à Pi exclu, et bien le sinus va varier de quoi à quoi ?
Et bien en fait il va varier tout simplement de cette valeur-là, quand le x est tout petit, ça va être 0 mais exclu. Quand x vaut 0, sinus de 0 ça vaut 0.
Mais comme x ne peut pas valoir 0, le sinus commence juste à une valeur un petit peu au dessus de 0, tu vois, à 0,0001 par exemple.

Et quand x augmente, et bien le sinus il diminue. Quand x arrive à Pi/2, Pi/2 étant l’angle droit en radians, tu te souviens le sinus de Pi/2 ça fait 1. Donc là, le sinus il arrive là.
Et après, quand x augment de Pi/2 à Pi, le sinus il diminue.
Mais vu que x n’atteindra jamais le PI, le sinus s’arrêtera juste avant 0. Parce que je te rappelle que le sinus de Pi, ça vaut 0.
Donc bref, ça veut dire que le sinus d’un nombre, sachant que le nombre varie de 0 jusqu’à Pi exclus, ça ne s’annule jamais. C’est toujours un nombre d’ailleurs qui est strictement positif, pour information.

Et c’est pareil pour 1+cosx. En fait il faut que le cosx ne soit jamais égal à -1 parce que si c’est égal à -1, tu es d’accord que le dénominateur s’annule.
Et quand x varie de 0 à Pi, comment varie le cosinus ? Et bien c’est très simple en fait. Le cosinus, tu te souviens qu’on le lit sur l’axe des abscisses, l’axe horizontal.
Le cosinus, si x commence à 0, mais 0 exclu, donc il ne commence pas à 0 mais à 0,000…001. Et bien le cosinus il commence à environ 1. Ensuite le x augmente, le cosinus il diminue vers 0.Donc pas de souci, il n’est pas égal à -1.
Et le x augmente encore et encore, de Pi/2 jusqu’à Pi. Et quand x vaut Pi, alors là, oui le cosinus vaut -1. Mais il n’atteint pas Pi. Il s’arrête juste avant Pi.
Donc de Pi/2 à Pi, le cosinus de x il est négatif, certes, mais il ne vaudra jamais -1 non plus. Bref, 1+cosx ne s’annulera jamais quand x se balade entre 0 et Pi exclus. C’est ça que ça veut dire et c’est pour ça qu’on l’a mis tout simplement, pour s’assurer que les dénominateurs ne s’annulent jamais.
Et il y en a d’autres des intervalles de x pour lesquels ces dénominateurs ne s’annulent jamais mais là, on a pris le plus simple : entre 0 exclu et Pi exclu.

Maintenant, on va s’intéresser quand même à la question principale de cet exercice, c’est-à-dire qu’il s’agit de démontrer l’égalité.
Alors, pour démontrer une égalité en mathématiques, il s’agit de partir d’un membre et d’arriver à l’autre par une succession de calculs.
Donc tu pourrais partir de la gauche pour arriver à la droite, ou inversement, tu pars de ceci, tu pars de la droite, tu fais quelques calculs et tu arrives à la gauche.
Ça on va dire que c’est la technique en général pour démontrer que un nombre A est égal à un autre nombre B.
Mais il y a une troisième technique qui est la suivante : tu peux très bien démontrer que A il vaut un nombre C, tu vois tu as transformé A, il est égal à C. Et tu démontres que B, en le transformant un peu ça vaut C
Tu vois tu auras bien prouvé que A et B sont égaux si tu as démontré qu’ils sont tous les deux égaux à un nombre C. ça c’est une troisième façon de démontrer une égalité en maths.

Donc là, ce que je te propose de faire, et bien c’est tout simplement de partir de ça, qu’on peut noter A si tu veux, et de le transformer un petit peu de façon à faire ressembler ce quotient à celui-ci. C’set-à-dire peut-être faire apparaître du 1+cosx en bas, de mettre un petit peu au même dénominateur.
En fait, l’idée ça va être de mettre au même dénominateur ces deux fractions. Pareil le B on va le mettre au même dénominateur que cette première fraction.
Et tu vas voir qu’en mettant au même dénominateur on va tomber sur un même nombre C tout simplement.

Donc là, on prend le A, le (1-cosx)/sinx et ce qu’on fait, c’est qu’on veut le mettre au même dénominateur que l’autre fraction, pour pouvoir comparer les deux nombres. C’est toujours une bonne idée de mettre deux fractions au même dénominateur si tu veux démontrer qu’elles sont égales ou les comparer, comme ça tu n’as plus qu’à comparer les numérateurs.
Donc là, on multiplie en haut et en bas, tout simplement par 1+cosx qui est le dénominateur de l’autre fraction. Tu vois, en haut et en bas pour ne pas changer la fraction. Tu as le droit de multiplier une fraction en haut et en bas par le même nombre, ça ne change pas la fraction.
IL faut mettre bien sûr des parenthèses là-haut. Et ensuite on calcule un petit peu ce que ça donne. Tu vois qu’en haut on tombe sur l’identité remarquable (a-b)(a+b) ce qui donne a carré moins b carré. Donc tu obtiens tout simplement :
« Calcul mathématique »
Donc voilà pour ce nombre A. tu vois comment on l’a transformé, on a obtenu un dénominateur qui tient compte du dénominateur de l’autre. ON n’a pas encore prouvé que c’était égal à B.

Maintenant ce que je te propose, c’est de transformer B. Donc B, pareil, tu le transformes en tenant compte du dénominateur de A, c’est-à-dire sinx.
ON va donc multiplier B en haut et en bas par sinx comme ça, tu vois bien on obtiendra les mêmes dénominateurs. C’était ça le but, on met au même dénominateur les deux nombres. C’est comme ça qu’on prouve qu’ils sont égaux. Donc là, on va obtenir :
« Calcul mathématique »

Et maintenant, intéressons-nous un petit peu aux numérateurs. Ces nombres auxquels on est arrivés, là pour le A et là pour le B, ce serait bien qu’ils soient égaux puisque c’est le but de démontrer qu’ils sont égaux.
En tout cas une chose est sûre, ils ont le même dénominateur.
Maintenant, les numérateurs : alors pourquoi sinus carré de x ce serait égal à 1 moins cos carré de x ?
ET bien tout simplement parce qu’on a une relation en trigonométrie qui est toujours vraie, qui est celle-ci, que je vais te rappeler :
1 est égal à cos carré de x plus sin carré de x. Donc ça, c’est toujours vrai. On l’appelle aussi la relation fondamentale de trigonométrie.
En fait ça vient tout simplement du théorème de Pythagore que tu appliques dans un cercle trigonométrique. On ne va pas le démontrer ici mais c’est très simple, je l’ai déjà fait dans d’autres vidéos.
Et cette relation, tu dois la connaitre, c’est tout simple. Il faut bien sûr que ce soit le même x, ici, dans le cosinus carré et le sinus carré. Tu pourrais avoir (4x+2) dans le cosinus et il faudrait que tu aies aussi (4x+2) dans le sinus.
Et du coup, ça veut dire quoi ? Et bien que si je passe le cos carré x à gauche, et bien cette relation c’est aussi 1-cos carré x = sin carré x. C’est la même chose. C’est une égalité équivalente à la première.

Donc ça y est. On a bien démontré que ce numérateur-ci est égal à celui-là. Donc à un moment donné il faut utiliser cette formule, pour démontrer que les numérateurs sont égaux.
Donc voilà comment on a démontré notre égalité : les numérateurs sont bien égaux, les dénominateurs aussi, donc les deux nombres mauves sont égaux.
Alors j’espère que tu as bien compris cette démonstration. Ça utilise seulement, quelque part, la transformation de chaque nombre. Pour démontrer l’égalité on transforme chaque nombre comme on peut et à la fin, pour les deux transformations qu’on fait, on obtient le même nombre.
Et on a également utilisé la formule, qui revient très fréquemment dans les exercices de trigonométrie en première, la formule 1=cos carré x + sin carré x.
Je te dis à la prochaine dans une autre vidéo.