1ère S Démontrer que 2 droites sont parallèles et homothétie

1ère S Démontrer que 2 droites sont parallèles et homothétie

Comment utiliser une homothétie pour démontrer que 2 droites sont parallèles?

Bonjour et bienvenue sur Starenmathstv, nous avons aujourd’hui dans cet exercice un triangle ABC et I et J qui sont 2 points tels que AI= 12AB et 2AC=AJ

On nous demande dans cet exercice, qu’est ce qu’on peut dire des droites (IC) et (BJ) ?

Bon déjà première chose on va quand même faire un dessin, car sinon ce n’est pas facile de se représenter ce que sont les droites (IC) et (BJ) et surtout peut être qu’elle peut est la relation entres elles :

<Schéma mathématique>

Voilà ! Donc on a placé nos points I et J en ayant tracé au départ notre triangle ABC quelconque. Donc quand on te demande de tracer un triangle ABC qui est quelconque, alors souvent on a tendance à tracer un triangle sans le faire exprès qui est soit isocèle, soit rectangle et parfois même équilatéral. Il faut quand même essayer de ne pas faire un triangle particulier qui soit isocèle ou rectangle et bien sur pas équilatéral non plus parce que ça peut parfois porter à confusion et risque de faire des déductions qui sont mauvaises parce que ta figure justement est particulière. Elle possède un angle droit si le triangle est rectangle ou elle à 2 côtés qui égaux si ton triangle est isocèle et ça c’est pas bon parce que ça peut t’induire en erreur dans le raisonnement que tu vas faire. Ici on nous demandait de tracer un triangle ABC qui est quelconque, tu vois ici il est à peut près quelconque, il n’est ni rectangle, ni isocèle, encore moins équilatéral.

Donc maintenant, ce qu’on nous demande de savoir c’est quelle est la relation entre la droite (IC) et la droite (BJ) ? Donc ce qu’on va faire c’est qu’on va les faire apparaître ces droites.

Voilà ! Donc j’ai dessiné les droites (IC) et (BJ) et qu’est ce qu’on peut dire à priori, et bien c’est qu’elles sont parallèles. Comment va t’on démontrer cela ? Puisque nous on a plutôt des relations vectorielles, on nous le donne comme hypothèse dans l’énoncé et on nous demande de déduire des choses sur des droites donc c’est plus des vecteurs. Donc moi ce que je te recommande de faire si tu y penses c’est de penser à une homothétie puisque si tu considères une homothétie de centre A.

<calcul mathématique>

Et oui, ça c’est une propriété des homothéties à connaître c’est à dire que quand tu as 2 points originaux, donc quand je parle « originaux » ça veux dire initiaux donc que tu cherches à transformer, c’est les 2 points que tu as au début, ici c’était B et J et quand tu transformes ces 2 points là par une homothétie tu obtiens 2 autres points, tu es d’accord. Et bien en fait le vecteur original, formé par les 2 points originaux il va être transformé en un autre vecteur et en fait cet autre vecteur qui est le vecteur final et bien il est égal en fait au rapport qui est 12 BJ

<calcul mathématique>

Alors tu me dis très bien tout ça mais en quoi ça va nous servir en ce qui concerne les droites (IC) et (BJ) ?

Et bien c’est très simple, puisque ici tu as une relation vectorielle qui fait intervenir les points IC et BJ et que cette relation vectorielle c’est une relation de colinéarité entre les 2 vecteurs IC et BJ tu peux dire tout simplement que vu que ces 2 vecteurs sont colinéaires et bien les droites (ICI) et (BJ) sont parallèles. Quand tu as 2 vecteurs colinéaires, les droites qui portent ces vecteurs sont parallèles ça c’est une autre propriété de la colinéarité de 2 vecteurs donc c’est à retenir.

Sinon, d’où vient ce passage de là à là ? Et bien c’est très simple. En fait j’ai utilisé tout simplement ces 2 relations là :

<calcul mathématique>

Donc voilà, tu vois que je vais utiliser en fait les 2 relations vectorielles que nous donne une homothétie qui transforme un point en un autre. Donc je prends la première relation vectorielle qui est issue de la transformation de B en I et la deuxième qui est issue de la transformation de J en C.

<calcul mathématique>

Alors ici j’ai utilisé quelque chose de peut être un peu compliqué puisque j’ai introduit, la transformation ici, cette homothétie de centre A et de rapport 12

Donc ce n’était pas évident, c’est vrai d’y penser sinon tu aurais surement pu aussi utiliser la réciproque du théorème de Thalès en démontrant que tu avais des égalités de rapport tu avais notamment que AIAB =ACAJ

Il aurait suffit d’utiliser de la même façon ces relations vectorielles et en fait de passer à la norme et donc tu aurais obtenu les égalités de rapport dont je viens de te parler et tu aurais dit sur ta copie, d’après la réciproque du théorème de Thalès et bien on aura que IC=BJ. Ça c’était une autre façon de résoudre l’exercice. Ici je voulais le résoudre en utilisant une homothétie et te rappeler en fait la définition d’une homothétie. Qu’est ce que B transformé en I et bien ça se traduit vectoriellement. Ça veut dire tout simplement que AI = ½ AB. De la même façon J transformé en C AC= ½ AJ. De cette relation vectorielle tu tires celle ci. Et de cette relation vectorielle enfin, tu pouvais dire que les 2 droites (IC) et (BJ) étaient parallèles.