1ère S Démontrer que 3 points sont alignés

Comment démontrer que trois points sont alignés ?

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Aujourd’hui, nous avons trois points, A,B et C, et leurs coordonnées. Donc, ces trois points sont dans l’espace 3D, et leurs coordonnées ont été données pour un repère orthonormé de cet espace 3D. Et, il faut démontrer que nos trois points sont alignés.

Alors, alignés dans l’espace. Comment faire ? Alors, pour montrer que trois points sont alignés, on peut montrer que des vecteurs bien choisis sont colinéaires.

Alors, un petit rappel : deux vecteurs, je fais un petit rappel en noir à droite, deux vecteurs u et v sont colinéaires, alors, qu’est-ce que ça signifie, ici je vais mettre un signe équivalent, cela signifie qu’il existe un nombre réel k, il existe k appartenant à R, de telle façon que l’on est le vecteur U égal à K point le vecteur V. autrement dit, si les coordonnées du vecteur U sont x,y,z, ici, je les note verticalement comme ceci, et si le vecteur V a pour coordonnées a,b et c, sachant que le nombre a,b,c et x,y,z sont des nombres réels,x,y,z sont les coordonnées du vecteur U, a,b,c sont les coordonnées du vecteur V, alors si on a cette relation vectorielle ici, au niveau des coordonner cela veut dire que (calcul maths).

Ceci est la traduction en terme de coordonnées le vecteur. Donc, si on arrive à démontrer, au niveau des coordonner de nos vecteurs, on va voir quels vecteurs, que l’on a ceci au niveau des coordonnées des vecteurs, cela signifiera que nos deux vecteurs sont colinéaires. Et, qu’est-ce que ça veut dire colinéaire ? cela signifie que l’on a le vecteur U comme ceci, et le vecteur V comme cela.

Donc, ce qu’on va faire nous, pour trouver que nos points sont alignés dans l’espace, on va considérer les vecteurs AB et AC. Sachant que tu aurais pu prendre d’autres vecteurs. Et, donc, ce qu’on fait, c’est que l’on va calculer les coordonnées de nos vecteurs. Alors, rappelle-toi, pour calculer les coordonnées d’un vecteur, on prend les coordonnées du deuxième point, et on lui soustrait les coordonnées du premier point. Pour obtenir les coordonnées du vecteur.

(calcul mathématique)

Mathématiquement, on obtient cela. Je ne sais pas immédiatement les calculs mentaux, en mathématiques il faut toujours faire comme ça, il faut y aller toujours très lentement dans un exercice de mathématiques, comme cela, il y a toujours beaucoup moins de risque de se tromper. Tu sais que tu as toujours de notation possible pour les coordonnées d’un vecteur ou les coordonnées d’un point, tu peux les noter verticalement comme ceci, sous forme d’une colonne, où tu peux les noter horizontalement, en séparant les coordonnées par un point-virgule.

Pour le deuxième vecteur, on fait exactement la même chose. Je vais noter les coordonnées ici. Alors, pourquoi ici ? est bien de façon à pouvoir comparer facilement nos coordonnées. Visualiser tout de suite ce qu’on va obtenir. Ça, c’est aussi très important.

Et, si tu regardes bien, ici, on a la coordonnée suivant X du premier vecteur, et ici, la coordonnée suivant X. du second vecteur. Dans un cas, c’est 2. Et pour le deuxième vecteur, c’est moins six. Donc, on a un rapport, je vais noter ici, équivaut –1/3 ! Puisque, tu prends moins six, et il faut le diviser par moins trois pour obtenir 2.

Donc, si tu prends au niveau des Y, c’est la même chose. Et, de la même façon, pour la troisième dimension, on obtient un rapport de –1/3.

Finalement, qu’est-ce qu’on obtient ? et bien on obtient exactement cette relation que je t’ai rappelée à droite en noir, ce rappel de cours. Les coordonnées du premier vecteur AB sont, à un facteur multiplicatif très, les coordonnées du deuxième vecteur AC. Et, ce facteur multiplicatif près, c’est k, c’est –1/3.

C’est la constante que j’entoure ici, on a trouvé la constante dans je te parlais dans le rappel de cours. Ici, on en est là, on a trouvé un k, un nombre réel donc, de telle façon à ce qu’on ait le premier vecteur égal à k fois le deuxième secteur.

Et donc, on peut conclure que le vecteur AB et le vecteur AC sont colinéaires. Donc, rappelle-toi, colinéaires, géométriquement parlant, ici dans l’espace, ça veut dire en fait pour deux vecteurs qu’ils sont portés par des droites qui sont parallèles. Et ici, vu que les vecteurs AB et AC commence par le même point, ça veut dire que les trois points A, B et C sont alignés.

Donc, on a démontré ce qu’on voulait.

Un rappel et méthode en même temps : très important, pour démontrer que trois points sont alignés, ça marche aussi dans le plan, c’est-à-dire quand tu as que 2 coordonnées x et y, il suffit de montrer que les vecteurs formés par le premier et le deuxième point, et le deuxième vecteur formé par le premier point et le troisième point (c’est un exemple mais tu pourrais prendre d’autres vecteurs) sont colinéaires. C’est-à-dire que leurs coordonnées s’expriment l’une par rapport à l’autre à un facteur multiplicatif près. Et il suffit de calculer les coordonnées de ce vecteur, de trouver le facteur multiplicatif était bien montré qu’il est commun pour chacune des dimensions, ce qu’on a fait ici (c’est –1/3).

Et, dans ce cas-là, tu auras montré que les deux vecteurs sont colinéaires, et que les trois points sont alignés.