1ère S Démontrer une égalité avec cosinus et sinus

Comment démontrer une égalité entre deux expressions trigonométriques, c’est-à-dire entre deux expressions avec du cosinus et du sinus ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette nouvelle vidéo Star en maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cet exercice, qu’est-ce qu’on va faire ? On va montrer que pour tout nombre réel x, 1/2 facteur de (1+ cos x + sin x), le tout au carré, égal (1+ cos x)(1+ sin x).
Donc tu vois que ce sont deux expressions, à gauche et à droite du égal, qui comportent du sinus et du cosinus, ce qu’on appelle les fonctions trigonométriques, cosinus et sinus et aussi tangente.
Ces fonctions sont très utilisées dans beaucoup de domaines, dans l’ingénierie, par exemple dans le son, ou dans la compression par exemple de données etc.
Donc c’est vraiment des fonctions très utilisées. Alors c’est vraiment que si tu es en première, ou si tu es en seconde et que tu as vu un petit peu les fonctions sinus et cosinus, tu ne comprends pas exactement à quoi ça sert mais ça sert à plein de choses. Il y a plein d’applications possibles derrière.

En tout cas dans cet exercice, qu’est-ce qu’on va faire ? Qu’est-ce qu’on nous demande de faire ?
On nous demande de faire une démonstration en fait. Quand tu lis une question, je t’encourage toujours à identifier ton élément manquant. Qu’est-ce que tu cherches vraiment à faire précisément ?
Ici, tu vois, c’est donné par le verbe « montrer que ». Le verbe indique très souvent ce qu’il faut que tu fasses dans une question de maths.
Donc le verbe ici c’est « montrer que » donc ça veut dire qu’il faut faire une démonstration. On aurait pu mettre « démontrer que », c’est vraiment la même chose.

Donc là, qu’est-ce qu’on cherche à démontrer ? On cherche à démontrer une égalité. On cherche à démontrer l’égalité entre ces deux expressions ici en bleu clair.
On ne sait pas au début qu’elles sont égales. Le but, je répète, c’est de montrer qu’il y a égalité entre les deux.
Donc ça, c’est vraiment important de bien clarifier ce qu’on cherche à faire dans l’exercice.

Ensuite, en mathématiques, qu’est-ce que tu connais comme façons de faire pour démontrer une égalité entre deux choses, entre deux expressions ?
Et bien moi, j’en connais 3. Les trois premières qui viennent à l’esprit ce sont celles-ci :
La première c’est tout simplement : imaginons que ce membre de gauche ici, tu l’appelles A. Une première façon de faire c’est que tu essaies de transformer A. J’arrive à ceci, ensuite j’arrive à cela et à la fin tu obtiens B, c’est-à-dire ce à quoi tu dois arriver, c’est-à-dire ici (1+ cos x)(1 + sin x).
Donc ça c’est une première façon de faire. Tu pars de A et tu essaies de le transformer par une succession de petits calculs, une succession de petites transformations. Ce que j’appelle petites transformations c’est tout simplement développement, factorisation, mise au même dénominateur, etc.
Bon, ici vu qu’on a des fonctions sinus et cosinus, les petites transformations auxquelles on pense -de toute façon on a des carrés, on a des produits de facteurs, donc on va surement développer- et tu peux aussi penser aux relations trigonométriques que tu connais, à toutes les égalités. Par exemple cos carré de x plus sinus carré de x égal 1 etc. ET aussi les formules d’aditions que tu as peut-être déjà vues.

Donc là, ce que je te présente en noir, ce sont trois façons de faire, trois méthodes pour démontrer une égalité, qui sont très générales. Tu peux vraiment les appliquer partout, dès que tu vois une égalité en mathématiques. Donc ce n’est pas du tout exclusif aux fonctions trigonométriques ou aux égalités avec des fonctions trigonométriques. Tu peux vraiment les appliquer tout le temps, dès que tu veux montrer une égalité entre deux choses.
Une deuxième façon de faire, je pense que c’est tout à fait naturel, c’est de partir plutôt que de A -on était parti de A pour aller vers B- et bien tu pars de B, tu le transformes, tu arrives à ça. Ensuite tu le transformes encore et à la fin si tu arrives à A et bien c’est gagné, tu auras bel et bien démontré l’égalité entre B et A, en partant de B et en arrivant à A.
Et une troisième façon de faire, qui est logique mais à laquelle on ne pense pas toujours forcément. Et bien imagine tu prends A et tu le transformes un petit peu. Tu arrives à une première chose, tu arrives encore à une nouvelle chose et à la fin, tu arrives à quelque chose mais qui n’est pas le B. Tu n’arrives pas à ce à quoi tu voulais arriver. Donc tu vas l’appeler C. Tu as une nouvelle expression.
Ceci, c’est une égalité entre A et C qui est vraie. Tu vas la garder, ça peut être utile. Et comment démontrer que A=B ? EN fait, tu débutes un nouveau calcul. Tu pars de B et tu essaies de transformer B. Donc tu vois ici le B ce serait notre expression de droite : (1+ cos x)(1+ sin x).
Tu essaies de le transformer aussi et peut-être que, avec un peu de chance, tu arriveras au C. tu vois donc, si tu arrives à C, et bien c’est bon, c’est gagné, tu auras bel et bien démontré l’égalité entre A et B tout simplement. Tu montres en fait que les deux nombres au départ, c’est-à-dire les deux expressions à gauche et à droite, sont égales à une troisième expression.

Donc là je te propose en fait d’appliquer cette troisième façon de faire pour démontrer l’égalité. C’est-à-dire qu’on va prendre chaque membre. Donc évidemment il ne faut pas partir du principe que les deux choses sont égales puisqu’on ne sait pas que les deux choses sont égales, c’est le but. On ne va pas écrire l’égalité entre ces deux choses-là évidemment. Je pense que tu auras compris ça.
Donc là, je te propose de partir de 1/2 facteur de ceci. Tu vois, on va essayer de transformer ça et après on va arriver surement à une nouvelle expression, et on va voir. Peut-être qu’on arrivera directement à ça mais ça m’étonnerait.
Parce qu’en fait qu’est-ce qu’on va faire comme transformations sur 1/2 facteur de (1+cos x + sin x), le tout au carré ? Et bien en fait on va développer le carré, tout simplement. Donc en fait, si on développe, on ne va pas arriver, je pense que tu seras d’accord avec moi, à quelque chose de factorisé à la fin.
On va arriver à une nouvelle chose qui sera sous la forme développée, c’est-à-dire une somme de termes. Tu comprends ? Donc en fait, il faudra surement aussi transformer ça et le développer, puisque tu vois que c’est un produit de facteurs, pour arriver au C.

Bon, en tout cas on part de ça, et là il faut développer cette parenthèse au carré. Pour développer un carré, c’est tout simple, il faut exprimer ce que c’est. Là ce n’est pas vraiment une identité remarquable. Tu pourrais penser à l’identité remarquable (a+b) au carré. On pourrait utiliser ça mais le problème c’est qu’on a une somme de trois termes dans les parenthèses. Et nous on ne connait que les identités remarquables avec (a+b), donc seulement deux termes dans la parenthèse.
Donc là, ce n’est pas forcément évident d’appliquer l’identité remarquable. Donc là, on va juste exprimer ce qu’est un carré. Un carré, c’est le nombre fois lui-même. Donc c’est :
« Calcul mathématique »
Un carré, tu peux toujours l’exprimer de cette façon là. Le carré d’un nombre, c’est le nombre fois le même nombre.

Donc là, pour développer ça, et bien il faut prendre son mal en patience. Tu peux mettre les petites flèches si tu as un développement de cette sorte-là à faire. IL n’y a pas de souci, tu peux mettre des petites flèches. On commence par le 1 et tu le développes avec tous les termes de la deuxième parenthèse : ce terme-là, ce terme-là puis ce terme-là. Ensuite le cos, tu le développes avec le 1, le cos, le sinus. Et enfin, on s’occupera du sinus, on le développera avec le 1, le cos et le sinus.
Donc c’est parti, on écrit tout ça. Je vais le mettre ici donc :
« Calcul mathématique »
On essaie de bien faire apparaitre les petits calculs, pour bien comprendre notre développement. C’est la même chose que distribuer. Quand on dit développer ou distribuer en maths, c’est vraiment la même chose.
Il ne faut pas être rebuté en maths par les calculs un peu longs. Les calculs en maths je dirais que c’est presque ce qu’il y a de moins dur. Les maths ce n’est pas que du calcul. Il y a aussi des démonstrations, de la réflexion etc.
Donc il ne faut pas penser que les maths ce n’est que du calcul : première chose. Mais surtout, les calculs ce n’est pas dur même si c’est parfois un peu long il ne faut pas se dire : « Oh il y a trop de calculs, c’est dur, je m’ennuie etc. » Non, les calculs ça va, il faut les faire, on les fait jusqu’au bout. Ce qui est intéressant c’est surtout les résultats, les raisonnements qu’on fait. Donc les calculs, on les fait jusqu’au bout, on prend son mal en patience et on y arrive, ça va marcher.
« Calcul mathématique »

Ensuite, là, on peut penser à des petites transformations. Déjà, regrouper les choses qu’on peut regrouper parce que tu vois, je vais obtenir ici un cos de x et j’en ai un autre là.
Et pareil pour les sinus. Les sinus de x, j’en ai un là et un autre là. Donc on n’a qu’à les regrouper ça va faire 2 cos x et 2 sin x. Ensuite, j’ai cos carré de x et sinus carré de x. Si on les regroupe, cos carré de x plus sinus carré de x ça devrait te faire penser à une relation qu’on voit très souvent et qui provient du théorème de Pythagore.
Cette relation-là est très importante et il faudrait que tu la retiennes. Tu peux la retrouver dans ton cours, n’hésite pas à le faire. C’est : cos carré de x plus sinus carré de x égal 1. IL faut que ce soit le même nombre dans le cosinus et dans le sinus. Là j’ai mis X. Mais par exemple cos carré de 3Pi/5 plus sinus carré de 3Pi/5 ça vaut 1.
Tu vois tu peux remplacer x par n’importe quel nombre. Donc ça, c’est une relation qu’on utilise très souvent en trigonométrie.
Donc ça veut dire que vu qu’on retrouve ça dans notre développement, et bien on peut remplacer ce que j’ai entouré en noir par 1 parce qu’on a bien cos carré de x plus sin carré de x. Donc ça, ça vaut 1.

Donc on va y arriver, on met à la fin : égal :
« Calcul mathématique »
Voilà, bon tu vois bien qu’on n’arrive pas tout à fait à ça. Mais ce n’est pas forcément très grave puisque là on applique vraiment la troisième façon de faire pour démontrer une égalité.
Ce qu’on va faire maintenant c’est partir de B et on va le développer. Et je pense que tu commences peut-être à le pressentir, en partant de ça, si on développe, on va surement trouver la même chose.
On fait tout de suite ce développement :
« Calcul mathématique »

Donc là on vient bien de démontrer que les deux expressions sont égales à une même expression qui est celle-ci, celle que j’encadre en rouge.
Donc on a bien démontré, tu conclurais bien, on a bien démontré l’égalité, sachant qu’on l’a bien démontrée pour n’importe quel nombre x. On ne s’est même pas soucié du x en fait, il peut être égal à n’import quel nombre. Ça pourrait être 2, 3Pi/5, Pi/4, ce que tu veux en fait. Il n’y a pas de valeur interdite, il n’y a pas à se préoccuper du x en fait, tu le gardes tel quel.
En tout cas j’espère que tu as bien compris les façons de faire pour démontrer une égalité et déjà que tu as bien compris la question. C’es-à-dire qu’on cherche à démontrer l’égalité entre les deux.
Et dès que tu sais qu’il faut démontrer une égalité et bien tu peux penser à l’une de ces trois façons de faire : tu pars d’un membre et t’arrives à l’autre : c’est l’une des deux premières. OU alors tu transformes les deux membres pour arriver à un même nombre, ici le nombre C, celui que j’ai encadré en rouge.
Voilà, j’espère que tu sauras faire ce genre de démonstration. Je te dis à la prochaine pour de nouvelles aventures.