1^ère S – Dériver une fonction avec une puissance et une racine carrée

Alors première chose, il faut regarder un petit peu, de quoi est composée ta fonction f. Ici, ta fonction f c’est quoi ? Est-ce que c’est une somme, est-ce que c’est un produit, est-ce que c’est une fraction ? C’est quoi ?

Là c’est un produit et une somme.

Oui, mais ça ne peut pas être les deux, on va dire que la dernière opération que tu fais, c’est quoi ? C’est un « plus » ou c’est un « fois » ?

C’est un plus.

Oui parce que tu as ce premier nombre. Effectivement ce sera une sous-fonction qu’on pourra noter par exemple f1(x), qu’il faudra dériver, et ensuite tu as une deuxième sous-fonction. Donc en fait, ta fonction f c’est une somme de deux sous-fonctions.

Est-ce que tu te souviens, c’est la phrase qu’il faut retenir, c’est que la dérivée d’une somme, et bien c’est la somme des dérivées.

Ça te dit quelque chose ? Donc là c’est tout simple, ça veut dire qu’il faut dériver chacune des sous-fonctions. Alors comment on va faire ?

Et bien il faut dériver 3x√x, première dérivée, oui c’est ça.

Et après on dérivera f2 quoi.

Oui.

Donc, f’1(x), comment tu dérives ça. Je vais noter déjà qu’il faut dériver les deux, et ensuite qu’il faudra les ajouter, je vais mettre un « plus ». On en est à un sous-problème. Là on est en train de dériver des sous-fonctions. Donc là, comment on va dériver f’, comment on va dériver f1 ? Qu’est-ce que c’est que f1, est-ce que c’est un produit, est-ce que c’est une somme, est-ce que c’est une fraction.

C’est un produit.

Oui, très bien.

Et donc comment on dérive un produit ?

Il faut utiliser u’v+v’u, je crois.

Oui, c’est bien. Donc en gros, u x v. Je ne vais pas le noter comme ça. On va dire [u(x) x v(x)]’ et tout ceci prime, c’est-à-dire la dérivée de tout ça, et bien c’est ce que tu m’as dit, c’est-à-dire que ça vaut combien ?

<Calcul mathématique>

Du coup, est-ce que tu peux me dire ici c’est quel est ton u, quel est ton v. Sachant qu’il y a plusieurs choix possibles dans cette première sous-fonction f1.

<Calcul mathématique>

Alors, attends, on va y aller par étape.

Est-ce que tu peux me dire d’abord quel est ton u et quel est ton v ?

Tu vois il faut vraiment procéder, c’est à ça que je vous encourage, dans tous les exercices il faut essayer d’acquérir cette petite rigueur en maths. Parce que si vous voulez tout de suite calculer les trucs, des fois vous aurez bon, mais des fois vous n’aurez pas bon. Donc ici quel est ton u ? Tu vois on va vouloir appliquer cette formule. Il faut vraiment toujours se ramener à ce qu’on connaît.

Tu connais cette formule, et comment tu l’appliques ?

Et bien, je cherche u et v.

Oui, donc, quel est ton u et quel est ton v. Comme je te disais, il y a plusieurs choix, mais il n’y en a pas tant que ça non plus, mais,…

Et bien u c’est 3x, par exemple. Oui ? et v c’est √x.

Bien, u(x) = 3x, v(x)= √x.

Ça c’est très bien. Ensuite et bien on va appliquer la formule. Bon, je mets un « égal » et qu’est-ce que je mets ensuite ?

Donc la dérivée de 3x, c’est 3.

Oui, ça marche. Là je mets 3. Ensuite ?

<Calcul mathématique>

Voilà, exactement, là j’étais à u’(x), c’est mon 3. Je mets v(x), c’est ma racine carrée de x. Tu vois je suis la formule pas à pas. C’est tout ce que je fais. Ensuite ?

<Calcul mathématique>

C’est bien. Ça c’est la dérivée de v.

<Calcul mathématique>

Voilà. Bon et bien tu vois, c’est fini là. Après il suffit juste de simplifier un petit peu. Là on va nettoyer si possible. Je n’ai pas l’impression que ce soit vraiment possible, mais on peut un petit peu.

Comment on peut nettoyer ça ? Ou simplifier ?

<Calcul mathématique>
Très bien. Alors ça, est-ce que ça ne se simplifie pas ? J’ai du mal à le dire, mais est-ce que ça se simplifie cette chose ? Cette deuxième chose-là ?

On peut enlever les x non ?

Alors, x c’est quoi par rapport à la racine carrée de x ?

Tu vois, je ne fais qu’utiliser des petites règles mathématiques que je connais, x j’aimerais bien l’exprimer en fonction de √x, parce que si j’arrive à le faire, peut-être que je pourrais simplifier haut et bas avec la racine carrée de x. Tu vois ce que je veux dire ?

En fait, ce que je veux te dire, c’est que peut-être cette fraction elle se simplifie.

Donc x, c’est quoi par rapport à √x, ou comment à partir de √x, tu obtiens du x ?

Il faut le mettre au carré.

Oui, c’est-à-dire que c’est ça. Tu es d’accord ? Et ça, c’est pas mal. Pourquoi ? Donc là, je vais juste marquer cette petite fraction ici. <Calcul mathématique>. Donc qu’est-ce qu’on vient de trouver ensemble ? C’est <Calcul mathématique>, est-ce que je ne peux pas simplifier.

Qu’est-ce que c’est qu’un carré finalement ? Est-ce qu’un nombre au carré ce n’est pas le nombre « fois » lui-même ?

Oui, c’est un nombre fois lui-même.

C’est ça qu’il faut dire. C’est-à-dire que là tu as <Calcul mathématique>. Voilà, et là, est-ce que ça ne simplifie pas les choses ? Donc en gros, tu as un √x qui s’en va, haut et bas, et c’est tout. Et donc, il te reste juste ça. C’est-à-dire que tu obtiens (3/2) √x. Tu comprends ? Et bien ça c’est important cette petite simplification. Ça veut ire qu’ici tu as 3√x, donc je vais le renoter, <Calcul mathématique>. Est-ce que je ne peux pas simplifier tout ça ? Si, parce que je n’ai que des racines carrées de x. J’ai trois vaches + (3/2) d’une vache. Tu es d’accord ?

Oui.

Et donc ?

Ça donne (tu peux mettre par exemple 3 sur le même dénominateur que ça), ça fait 6/2.

Oui, et 6/2 plus ça ?

Ça fait 9/2.

Voilà !

(9/2) √x, là c’est bien ce qu’on a trouvé pour la première sous-fonction.

Et maintenant pour la deuxième, comment on va dériver f2 ? Quelle règle on va utiliser ?

<Calcul mathématique>

C’est bien, je vais le noter là. <Calcul mathématique>. Donc en fait, la question qu’on obtient, là c’est plus facile pour f2.

<Calcul mathématique>

Voilà, et c’est fini. Finalement la dérivée, est-ce que tu peux me dire combien elle vaut ?

Elle vaut (9/2)√x+5x⁴