1ère S Différentes mesures pour un même angle

Comment savoir si deux mesures d’un angle correspondent au même angle ?

Bonjour à toi et bienvenue dans cette nouvelle vidéo star-en-maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Aujourd’hui ‘hui nous avons un petit exercice dans lequel il va falloir déterminer ensemble si les deux réels qui sont donnés, dans chacun des deux cas suivants, correspondent aux mêmes points sur le cercle trigonométrique.
EN fait tu sais que sur un cercle trigonométrique, je peux en dessiner un très rapidement, on va pouvoir faire apparaitre des angles. Tu vois un cercle trigonométrique, c’est un cercle qui est toujours de rayon 1, c’est vraiment ça un cercle trigonométrique. Donc là, j’en dessine un très rapidement, il n’est pas très beau mais ce n’est pas très grave. Et là-dessus, ce qui est intéressant c’est que tu peux faire apparaitre des angles.
Donc là, tu as l’origine, on peut noter ça comme ça. Là on note souvent ce point I et ce point comme étant le point J. Tu peux dire aussi qu’il y a un rayon de 1 ce qui sert à faire des petites démonstrations par la suite. C’est un cercle particulier, c’est un outil si tu veux, qui nous permet de visualiser et de travailler un petit peu sur les angles. Après on n’en a pas forcément besoin dans les exercices.

Donc là par exemple je dessine un angle, toujours en partant de ce vecteur OI. Tu peux dessiner un angle orienté même. Par exemple cet angle. Donc là je dessine un deuxième vecteur. Par exemple ici on obtient un point M. Et du coup on obtient un angle orienté qui s’appelle vecteur OI jusqu’à vecteur OM. Je le dessine en noir. (vecteur OI, vecteur OM). Donc ça c’est un angle orienté puisque tu vois qu’il a un sens. On appelle ça aussi un angle de vecteurs puisqu’il est formé de deux vecteurs.
ET on va expliquer dans cet exercice qu’un même angle possède différentes mesures. Donc il faut bien dans ta tête que tu distingues les deux choses : un angle et une mesure de cet angle. Tu vois, donc l’angle c’est vraiment cette flèche noire, c’est comme ça qu’on pourrait le comprendre et les mesures de cet angle, parce qu’il y en a plusieurs, et bien… Là par exemple tu dirais combien ? En degrés ou en radian…
Tu sais qu’il y a deux unités pour les angles. Souvent on utilise les degrés au début mais après en mathématiques on utilise les radians. Et donc 90° qui est l’angle droit ça correspond à Pi/2 radians. Donc tu vois si tu fais cet angle, que fais en orange, OI jusqu’à OJ, c’est l’angle droit et c’est Pi/2 radians. Donc là on n’est pas tout à fait à la moitié de Pi/2 (donc Pi/4) on serait un peu en dessous de Pi/4, peut-être Pi/5 notre angle noir. Pi/5 radians.
Alors Pi/5 c’est une mesure de cet angle (pour cet exemple-là) mais en fait il y en a d’autres. Il y en a même une infinité. Parce que tu vois, tu pourrais prendre Pi/5 + 2Pi. Et 2Pi, c’est le tour complet. C’est l’angle qui correspond au tour complet. Tu vois, tu pars de OI et tu reviens sur OI. Là on a fait 360°. On a rajouté 2Pi radians. On compte plutôt en radians maintenant, il faut s’habituer à ça.
Et du coup une même mesure de ce même angle, si tu te places sur le vecteur OM et tu fais un tour complet, tu vois tu rajoutes 2 Pi en fait à Pi/5 mais tu retombes toujours sur ce vecteur OM. Tu obtiens une nouvelle mesure qui est Pi/5+2Pi. Alors tu peux le calculer. Pour le calculer plus simplement, il suffit de le mettre au même dénominateur. 2Pi ça fait 10Pi/5. Donc tu obtiens 11Pi/5.

Ne t’inquiète pas, je n’ai pas oublié l’objectif de notre exercice mais vraiment je voulais te montrer ce que c’est qu’un angle et ses différentes mesures. On avait une première mesure qui était Pi/5 et on en a une deuxième qui est 11Pi/5. Donc ça, c’est les mesures de cet angle (vecteur OI, vecteur OM).
Et on pourrait en avoir une infinité d’autres parce que tu peux partir de Pi/5 ou 11Pi/5 et ajouter des 2Pi ou soustraire des 2Pi parce que tu vois, si plutôt que d’ajouter 2Pi en partant du vecteur OM, tu retranches 2PI, tu vas dans le sens inverse mais tu fais toujours un tour complet, tu retombes sur le même vecteur. Donc on peut vraiment retrancher 2Pi, donc 10Pi/5 c’est la même chose, et tu obtiens -9Pi/5. Donc -9Pi/5, c’est encore une mesure de notre même angle.
C’est ça l’idée de cet exercice. Là, on te demande est-ce que -Pi/2 et 5Pi/2 (ce sont des nombres réels qui correspondent à des angles que tu peux placer sur le cercle trigonométrique) correspondent au même point ? Tu vois par exemple ici, Pi/5 et 11Pi/5 et je te disais à l’oral à l’instant -9Pi/5, ça correspond au même point M sur le cercle trigonométrique.

Maintenant intéressons-nous quand même au premier cas de notre exercice. Est-ce que -Pi/2 et 5Pi/2 ça correspond au même angle, donc au même point si tu veux sur notre cercle trigonométrique. Parce qu’un point sur le cercle, tu peux lui faire correspondre un angle. Tu vois notre point M ça correspond à l’angle qui part de OI (on part toujours du vecteur OI) jusqu’à OM. C’est l’angle noir. On va se poser cette question et pour ce faire je vais effacer quelque petites choses pour avoir un cercle vierge pour qu’on puisse dessiner dessus tranquillement.
Donc c’est parti alors ce qu’on va faire c’est repérer le point qui correspond à l’angle -Pi/2 radians. Je te disais précédemment que Pi/2 c’est l’angle droit quand tu vas dans ce sens-là. C’est pour ça qu’on parle d’angles orientés. Ce sens-là correspond au sens positif. Donc là c’est +Pi/2. Je peux l’indiquer si tu veux, ça c’est le sens positif. C’est une convention, c’est un choix, on a choisi d’aller dans ce sens là pour considérer les angles positifs.
Donc tu comprends bien qu’en partant de OI, cet angle que je peux faire en vert, c’est tout simplement -Pi/2. Donc tu arrives à quel point du cercle ? ET bien ce point-ci. Tu vois. Donc on peut le noter par exemple M1 correspondant à ce réel -Pi/2.
Maintenant on fait la même chose et on essaie de repérer à quel point correspond 5Pi/2. 5Pi/2 c’est 5 fois Pi/2. Donc ce que tu fais, je peux le faire par exemple en beige, tu pars de OI et tu avances de Pi/2, on arrive à ce point-là. Ensuite tu augmentes encore de Pi/2, on arrive là. Tu vois on a fait ça, on est arrivé à Pi/2, là on est à 2Pi/2, qui correspond à Pi. On ajoute encore Pi/2, on arrive à M1 et on est à 3Pi/2. On ajoute encore un Pi/2, on arrive à I, on a fait 2Pi (4Pi/2) et on ajoute encore un Pi/2 et on arrive là.
Donc on arrive à J et là on a fait vraiment 5Pi/2 et on peut l’appeler M2. Et on voit bien que M1 et M2 ne sont pas les mêmes points. Donc tout simplement ces deux réels ne repèrent pas le même point sur le cercle trigonométrique. Voilà comment tu peux procéder.

Là c’est l’explication un peu graphique de comment on fait ce genre d’exercice. Mais pour savoir, en général, si deux mesures… Là c’est deux mesures d’angles différents, -Pi/2 et 5Pi/2, on aurait aimé que ce soit le même angle, et si ça avait été le même angle on aurait dit qu’elles repèrent le même point.
Mais bon, ce que tu peux faire, tout simplement pour savoir si deux réels repèrent le même point c’est voir si entre c’est deux réels, il y a une distance, il y a une « longueur » de 2Pi ou d’un multiple de 2Pi. Parce que s’il y a un multiple de 2Pi, comme dans l’exemple que je t’ai donné précédemment : tu te souviens qu’une Pi/5 et 11Pi/5 il y avait tout simplement 10Pi/5 c’est à dire une fois 2Pi. Donc il y a un tour complet.
Donc ça veut dire que si tu repères entre deux mesures d’angles un multiple de 2Pi, c’est-à-dire par exemple 3 tours complets, c’est-à-dire 3 fois 2Pi, et bien ça veut dire que ça correspond au même angle. Ce sont deux mesures qui diffèrent de k*2Pi mais qui correspondent au même angle.
Et là tu vois bien que ce n’est pas le cas parce qu’entre -Pi/2 et 5Pi/2, d’ailleurs on peut faire la différence parce que c’est comme ça que tu as la « longueur » entre deux nombres. Il suffit juste de faire dans ce premier cas, le cas 1, la différence entre les deux nombres : 5Pi/2-(-Pi/2), et ça te donne la distance entre -Pi/2 et 5Pi/2.
Je te donne un autre exemple tout simple. Par exemple si tu veux faire la distance entre 4 et 2, tu te dis naturellement c’est 2. En fait tu fais 4-2, le plus grand moins le plus petit. Un autre exemple, si tu veux la distance entre 2 et 11, et bien tu fais 11-2 et ça fait 9. Donc la distance entre 2 et 11 c’est 9. Donc là on fait la même chose et 5Pi/2-(-Pi/2) ça va donner 6Pi/2. Et ça, tu peux simplifier ça donne 3Pi. Et 3Pi n’est pas un multiple de 2Pi puisque c’est 1,5*2Pi. Les multiples de 2Pi, c’est 2Pi, 4Pi, 6Pi, 8Pi, -4Pi, -6Pi. Tu vois c’est quand tu as un nombre entier pair devant le Pi. Et là tu as trois donc ce n’est pas pair.
Donc là, voilà, juste en faisant ce calcul, sans même faire cette explication graphique, tu peux conclure que ces deux réels ne repèrent pas le même point sur le cercle trigo. Voilà.

Maintenant, le cas numéro 2 pour bien te montrer comment ça marche une nouvelle fois. Donc là, tu repères les points, ce que ça donne sur le cercle. Donc Pi/3, on va le faire en rose, tu vas arriver ici. Cet angle là c’est Pi/3. Tu as pris la moitié du gâteau et tu l’as divisé en 3. C’est pas très représentatif parce que mon cercle n’est pas très beau mais tu vois, là tu aurais 2Pi/3, tu as trois part égale. Donc là tu aurais par exemple le point N correspondant à cette mesure là.
Et maintenant on cherche à savoir si cette mesure là correspond au même angle. Donc là, ce qu’on fait, c’est qu’on reprend notre cercle, et on essaie de placer le point correspondant à -11Pi/3. On va y aller tranquillement. Donc là il faut aller dans le sens négatif, dans l’autre sens. Donc là on va arriver à -Pi/3. Là -2Pi/3, -3Pi/3 (c’set-à-dire -Pi). Ici -4Pi/3, ici -5Pi/3, on repasse par N1. -6, -7, -8, -9, -10, -11. Là, on serait à -11Pi/3. Tu vois donc ça correspondrait au même point.
ET là, pour le justifier de façon un peu plus propre, ce que tu fais, c’est le même calcul que précédemment, c’est Pi/3-(-11Pi/3) c’est-à-dire la différence entre les 2 pour connaitre la distance entre ces deux réels. Donc là, on fait ça et comme ça en connaissant la distance tu vas obtenir si oui ou non on a fait tant de tours complets entre les deux mesures. Si par exemple tu as fait 1,5 tour complet, tu ne retomberas pas sur le même point. Mais là, tu vois bien qu’on a fait 2 tours complets en partant de Pi/3 pour retomber sur -11Pi/3.
Donc Pi/3-(-11Pi/3). Tu peux vraiment mettre celui que tu veux en premier. Tu peux faire -11Pi/3-Pi/3 mais tu obtiendras une distance négative. Généralement pour avoir une distance entre deux nombres, on prend le plus grand et on fait moins le plus petit comme ça on est sur d’avoir un nombre positif. Une distance c’est quand même plutôt quelque chose de positif. Et donc là, quand on fait ce calcul, ça donne Pi/3+11Pi/3 et donc ça donne 12Pi/3. On simplifie, ça donne 4Pi. Et 4Pi, c’est 2 fois 2Pi. On obtient bien un multiple de 2Pi, c’est-à-dire un nombre entier fois 2Pi.
Ça veut dire que pour passer de -11Pi/3 et arriver à Pi/3, on a fait plus 2*2Pi. On a ajouté deux tours complets. Et ajouter deux tours complets, ça nous fait arriver au même point sur le cercle trigonométrique. Donc là dans ce deuxième cas, -11Pi/3 et Pi/3 repèrent le même point qui est N1 ici sur notre cercle trigonométrique.

J’espère que tu as bien compris parce qu’en fait derrière cet exercice se cache la notion d’angle et de mesure de cet angle. Donc je te répète, pour un angle donné il existe une infinité de mesures. Par exemple, si tu as une mesure d’un angle, par exemple m, et bien m+2kPi avec k appartenant à Z (c’est-à-dire k un entier relatif, c’est-à-dire un nombre sans virgule), c’est une autre façon de noter k*2Pi… Tu peux le comprendre comme ça géométriquement parlant : tu peux ajouter autant de tours complets à l’angle correspondant à m et tu retomberas toujours sur le même angle.
C’est le même angle en fait. Ça, ce sont différentes mesures, ce sont toutes les mesures du même angle. ET généralement dans les exercices, on travaille surtout avec la mesure principale de l’angle, c’est-à-dire la mesure (il n’y en a qu’une) qui est comprise entre -Pi et Pi.
Après il y a d’autres vidéos dans lesquelles j’explique précisément comment obtenir la mesure principale d’un angle (il n’y en a qu’une seule). Par contre des mesures, tu vois bien qu’il y en a une infinité parce que tu peux remplacer k par n’importe quel nombre entier. Tu comprends ?
Voilà, je voulais vraiment t’expliquer cette différence entre l’angle et ses différentes mesures. Et cet exercice nous a permis de bien comprendre ça ensemble.
Je te dis à la prochaine dans une autre vidéo.