1ère S Equation de cercle, produit scalaire

Cercle circonscrit d’un triangle

Comment déterminer l’équation d’un cercle quand on connaît son diamètre et en utilisant son produit scalaire.

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Dans cet exercice aujourd’hui, nous devons donner une équation du cercle de diamètre AB, avec A(3 ;0) et B(2 ;5). Alors il y a plusieurs façons de faire cet exercice, et une des façons consiste d’utiliser le produit scalaire.

Alors, avant de parler de produit scalaire, on va faire un dessin. Donc ce que l’on va faire, puisque les coordonnées ici sont positives, on va tracer le coin supérieur droit d’un repère orthonormée.

*dessin

Alors c’est un dessin qui se veut plutôt didactique, c’est-à-dire qu’il n’est pas très précis. Mais ce n’est pas grave, on va tout de même arriver à tracer les points.

Voilà. Traçons maintenant le cercle en vert…voilà. Maintenant nous pouvons tracer la droite BA, qui est le diamètre. Ici on pourrait aussi indiquer le centre, qu’on pourrait noter I. Sur un schéma, il faut toujours indiquer le plus d’informations possibles, celles que tu as dans l’énoncé mais aussi celles que tu déduis au fur et à mesure. Donc ici, les longueurs BI et IA sont les mêmes. Voilà.

Alors comment trouver une équation du cercle en utilisant le produit scalaire ?

Et bien en fait, nous, nous cherchons une équation cartésienne du cercle. Une équation cartésienne de cercle, c’est une équation qui fait intervenir les coordonnées (X,Y). Ces coordonnées, quelles sont-elles ? Et bien tout simplement ce sont les coordonnées de tous les points M qui sont sur le cercle.

C’est-à-dire que si tu trouves un point M qui a une coordonnée (X,Y), et que ses coordonnées satisfont l’équation que nous allons trouver, et bien cela veut dire que le point M se trouve sur le cercle en vert. D’accord ? Donc nous, nous allons placer un point M de coordonnées (X,Y).

Il y a une propriété qui est souvent oubliée, c’est que quand BA est le diamètre du cercle et que M est un point sur le cercle, alors on a ce triangle-là, le triangle BMA – qui est rectangle en M (peut-importe ou se trouve le point M sur le cercle).

Qu’est-ce que cela signifie ? Et bien cela signifie que

<calcul mathématique>

Donc que le produit scalaire, et bien il est nul – c’est comme cela qu’on le traduit. Et c’est une équivalence de dire que le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul – donc de dire que les droits BM et MA sont perpendiculaires et M appartient au cercle.

Donc, on peut tout à fait trouver l’équation du cercle de diamètre AB en notant ici cette équation. Alors bon, on a noté cette équation, mais comment aller plus loin ?

Et bien nous connaissons les coordonnées de chacun des points, alors nous allons pouvoir traduite analytiquement ce produit scalaire, cette équation.

Alors le vecteur MB, qu’est-ce qu’il a comme coordonnées ? Et bien il a

<calcul mathématique>

Et de la même façon :

<calcul mathématique>

Ensuite, comment est-ce que l’on traduit cette opération de façon analytique ? Rappelles-toi qu’un produit scalaire de deux vecteurs c’est tout simplement

<calcul mathématique>

Donc maintenant nous allons développer pour obtenir une équation plus propre.

<calcul mathématique>

Voilà donc nous avons trouvé une équation de notre cercle. Donc la propriété-clé ici que nous avons utilisée, c’est le fait que quand tu prends un point M du cercle, et quand tu as le diamètre BA du cercle, alors BMA est toujours rectangle en M, quelque soit la position du point M sur le cercle.