1ère S Equation de cercle

1ère S équation de cercle

Comment déterminer l’équation d’un cercle quand on connait son diamètre ?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths Tv. Aujourd’hui, on doit donner une équation du cercle de diamètre :

<calcul mathématique>

Ce que je te propose, c’est immédiatement de placer les points dans un repère orthonormé. Or, vu que les points sont de coordonnées positives, je ne vais dessiner que le coin supérieur droit du repère orthonormé. Donc déjà, voici l’axe des ordonnés, l’axe des abscisses, l’origine, et l’unité qu’on va prendre comme ceci :

<calcul mathématique>

Et nous, on construit donc le cercle qui est de diamètre AB. Donc le diamètre, c’est la corde que tu peux tracer dans le cercle de longueur maximale. Donc nécessairement, le cercle est comme ceci, je vais le dessiner en vert :

<calcul mathématique>

Voilà ! Alors maintenant pour déterminer son équation, et bien ce que je te propose de faire, c’est de trouver le centre de ce cercle et ensuite de trouver son rayon. Alors le centre du cercle, on peut d’or et déjà le dessiner ici – voici le diamètre, donc le segment AB c’est le diamètre du cercle, et son centre il est ici et on va le noter I. Donc toujours bien faire apparaitre sur un schéma toutes les données ; donc ici vu que c’est le centre du segment AB, I, et bien il faut bien faire apparaitre que BI et IA sont de même longueur. Voilà !

Donc pour déterminer le centre du cercle, I, et bien c’est très simple puisque I est le milieu du segment AB. Et donc, ça, c’est une formule que tu connais normalement depuis la seconde : I est le milieu d’AB, donc pour déterminer les coordonnées de I, eh bien on fait la moyenne de chacune des coordonnées de A et de B. en fait, par exemple tu vas prendre les abscisses de A et de B, qui sont ici 3 et 2 et tu en fais la moyenne. Donc c’est :

<calcul mathématique>

Donc c’est vraiment une formule très simple à retenir pour calculer le milieu d’un segment quand tu connais les coordonnées des deux points formant le segment. Donc ici, notre point I a pour coordonnées tout simplement :

<calcul mathématique>

Donc ça c’est une première donnée importante, parce qu’elle va nous permettre de décrire une équation du cercle de diamètre AB. Alors ce n’est pas la seule, il nous faut aussi le rayon du cercle. Le rayon du cercle, tout simplement, à quoi ça correspond ? Et bien ça correspond à la longueur du diamètre, donc à la longueur du segment BA divisée par deux, puisque c’est un rayon – il ne faut pas oublier de diviser par deux. Donc comment on calcule la longueur du segment AB ? Et bien c’est très simple : soit tu connais tout de suite la formule de ton cours permettant de déterminer la distance entre deux points dans le plan, soit tu fais apparaitre dans le schéma – je vais le faire en rose – tu fais apparaitre un triangle rectangle avec BA comme étant l’hypoténuse de ce triangle rectangle. Alors :

<calcul mathématique>

Ce point-là on va le noter C :

<calcul mathématique>

Donc à partir de ce dessin tu vas pouvoir très facilement trouver la longueur BA. Puisque la longueur BA, et bien c’est, en appliquant le théorème de Pythagore, dans le triangle BAC – et bien c’est :

<calcul mathématique>

Donc en fait la longueur de ce segment BC, c’est tout simplement la différence des ordonnées des deux points B et C. C’est :

<calcul mathématique>

Voilà ! Alors ça, je t’ai redémontré en quelque sorte la formule permettant de calculer la distance entre deux points du plan quand tu connais justement les coordonnées de ces deux points, mais tu peux aussi appliquer la formule de ton cours qui est tout simplement :

<calcul mathématique>

En fait, c’est exactement ce qu’on vient d’appliquer en appliquant justement le théorème de Pythagore dans le triangle BAC. Voilà. Et donc, le rayon, c’est- il ne faut pas l’oublier- la moitié de BA :

<calcul mathématique>

Voilà ! Maintenant, une fois qu’on a les coordonnées du centre du cercle et le rayon du cercle, on peut donner une équation. Et cette équation, alors d’une façon générale je vais la noter en noir ici, c’est :

<calcul mathématique>

Ça, c’est la formule générale où xi yi sont des coordonnées du centre du cercle et R le rayon du cercle. Dans notre cas, il suffit de remplacer xi et yi par ce qu’on a trouvé ici et le rayon par ce qu’on a trouvé ici. Donc, notre équation est tout simplement :

<calcul mathématique>

Donc voilà pour le résultat de cet exercice !

Alors en fait, en conclusion, pour trouver l’équation d’un cercle quand tu connais le diamètre du cercle – ou plus précisément les coordonnées des deux points formant le diamètre – et bien il te suffit premièrement de trouver les coordonnées du centre du cercle et deuxièmement de trouver la valeur du rayon. Et ensuite, vu que tu connais la formule générale d’une équation cartésienne d’un cercle, et bien il te suffit de remplacer ici xi et yi par les coordonnées du centre du cercle et R par la valeur du rayon que tu as trouvée.