1ère S Equation de cône
Comment déterminer l’équation cartésienne d’un cône de sommet O et d’axe (z z’) sachant qu’on sait qu’il passe par un point et on connait les coordonnées de ce point.
Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui dans cet exercice nous allons déterminer une équation de somme du cône O passant par le point A de coordonnée (2 ; 1 ; 1) et d’axe (z z’).
Alors ce que nous allons faire c’est un schéma, alors nous allons représenter dans un premier temps un repère orthonormé direct donc suivant la règle des 3 doigts de ta main droite. Donc le trièdre direct correspond au fait que ton pouce est l’axe x, l’index est l’axe y, et l’axe z correspond à ton majeur.
Puisqu’on connaît les coordonnées de notre point A qui sont (2 ; 1 ; 1) on va le placer dans notre repère.
<Schéma mathématique>
Donc nous notre cône est de sommet O et il passe par A. Donc ici j’ai tracé le cercle, donc pas de centre O mais le projeté orthogonal de A sur l’axe z puisque notre cône est d’axe (zz’).
<Schéma mathématique>
Voilà, donc je ne vais pas alourdir la figure. Maintenant revenons à notre question qui est de déterminer l’équation d’un cône d’axe z.
Alors, si tu connais bien ton cours, l’équation d’un cône d’axe z c’est de la forme:
<calcul mathématique>
Donc ce qu’il va nous falloir calculer c’est cette angle thêta. Donc puisqu’on a affaire ici à un triangle rectangle ça va être très simple de calculer la tangente thêta puisque :
<calcul mathématique>
Donc ce qu’il va nous falloir déterminer finalement ce sont les coordonnées de notre point A’ qui est le projeté orthogonal du point A sur l’axe zz’.
Alors pour calculer les coordonnées de ce point A’ que j’ai fait figurer ici et bien en fait si tu regardes bien, il suffit d’annuler les coordonnées du point A qui est là suivant les dimensions x et y. En fait il ne reste plus que les coordonnées suivant z de ce point A là, pour obtenir les coordonnées du point A’.
Donc en fait les coordonnées du point A’ je vais les noter en vert :
<Schéma mathématique>
Si tu ne sait pas déterminer les coordonnées du point A’ je te donne une deuxième façon qui est plus détaillée.
La deuxième façon c’est de dire que :
<calcul mathématique>
Donc là je t’ai détaillé très rapidement pourquoi le projeté orthogonal A’ du point A sur l’axe z a pour coordonnées (0 ; 0 ; 1)
Donc du coup il te reste à calculer la longueur AA’ sachant que A’, on vient de le dire est de coordonnées (0 ; 0 ; 1) et les coordonnées du point A tu les connais puisqu’elles sont dans l’énoncé de l’exercice et ensuite il te faut déterminer la longueur OA’ sachant que O bien sûr, c’est l’origine de notre repère qui est de coordonnées (0 ; 0 ; 0).
Donc là, on a toutes les données, on va pouvoir calculer les tangentes thêta et pouvoir déterminer notre équation de cône.
<calcul mathématique>
Donc toute la difficulté finalement c’était de trouver la valeur de ce coefficient ici, m2 qui correspond au carré de la tangente de l’angle thêta.
Et ce qu’on a fait pour trouver la tangente de cet angle thêta c’est projeter orthogonalement A sur l’axe z, donc l’axe de notre cône de façon à faire apparaître un triangle rectangle ; et dans ce triangle rectangle c’est facile de calculer la tangente de thêta.
Donc c’est ça en fait l’astuce de cet exercice. Et pour projeter orthogonalement un point A n’importe ou dans l’espace sur l’un des 3 axes et bien ici je te l’ai détaillé de façon un peu compliquée tout à l’heure en utilisant le produit scalaire de 2 vecteurs mais c’est simple il suffit d’annuler 2 de ses coordonnées, de rendre 2 de ses coordonnées égales à 0. Et c’est ce qu’on a fait avec le point A qui est de coordonnée (2 ; 1 ; 1), on l’a projeté orthogonalement suivant l’axe z en annulant ses coordonnées suivant x et y. Donc 2 devenait 0, 1 devenait 0 et il restait le 1 ici.
Donc c’est exactement les coordonnées du projeté orthogonal A’ de notre point A sur l’axe (zz’).
Donc pour conclure finalement, moi la première chose que je te conseille de faire quand tu abordes un exercice de géométrie dans l’espace c’est de faire une figure grande qui soit propre et qui soit claire, c’est à dire qui y fasse figurer toutes les informations de l’énoncé. Donc dès que tu peux placer un point ou autre et bien il faut le placer dans ton repère 3D et à partir du moment ou tu as fait une figure en 3D ce que tu peux faire c’est faire d’autres petites figures comme je l’ai fait ici pour bien visualiser comment ça marche.
Ici, ce que l’on cherchait plus particulièrement c’était à chercher le tangent de thêta et bien quoi de mieux pour calculer le tangent d’un angle thêta de faire apparaître le triangle rectangle (O ; A’ ; A) et c’est ce que j’ai fait sur cette petite figure ici, que j’ai pu faire à partir de la figure 3D, c’était plus simple. Et une fois que tu as cette figure là et bien ça va très vite puisque tu connais la formule de la tangente dans un triangle rectangle, je l’ai noté ici, il te suffisait de calculer AA’ et OA’. Et ça, ça se fait vite quand tu as bien compris les coordonnées de ce point là.
Donc vraiment part toujours :
- d’une figure qui soit grande,
- qui soit propre
- qui soit claire, c’est à dire avec toutes les informations de l’énoncé
Donc ça c’est vraiment un conseil extrêmement important que je te donne ici.
Ensuite, bien sûr deuxième chose il te faut connaître ton cours puisqu’ici on te demandais l’équation du cône de sommet O et d’axe (zz’) tout de suite il faut connaitre l’équation cartésienne générale d’un cône de c type là.
