1ère S Equation de cylindre

1ère S Equation de cylindre 1/2

Comment déterminer l’équation d’un cylindre C d’axe yOy’ sachant que tu sais que ce cylindre passe par un point dont tu connais les coordonnées ?

Bonjour, et bienvenue sur Star en Maths TV. Nous devons dans cet exercice trouver une équation du cylindre C d’axe yOy’ passant par le point P de coordonnées (-2 ; 5 ; 3).

Alors déjà si tu connais ton cours, l’équation d’un cylindre d’axe yOy’ est de la forme :

<calcul mathématique>

Quand tu dois déterminer l’équation d’un cylindre d’axe xOx’ par exemple et bien les coordonnées à faire intervenir dans l’équation cartésienne c’est pas les coordonnées suivant l’axe x ce sont donc les 2 autres coordonnées donc y et z.

Donc ce serait de la forme : y²+z²=R².

Si c’est suivant l’axe z. Si ton cylindre est suivant l’axe z alors il faudra faire intervenir dans son équation cartésienne les coordonnées x et y tout simplement. Donc tu auras une équation cartésienne de la forme x²+y²=R².

Donc ici nous avons cette équation cartésienne ci mais il faut déterminer R. Donc comment on va déterminer R ?

On sait que notre cylindre passe par le point P donc pourquoi ne pas faire une figure puisque le point P il a des coordonnées relativement simples.

On va essayer de placer le point P dans un repère orthonormal 3D que je trace toujours de la même façon, je le trace suivant la règle des 3 doigts de ta main droite donc ça te donne un trièdre direct donc le pouce va représenter ton axe x, ton index ton axe y, et le majeur l’axe z. Donc je vais représenter ça tout de suite.

< Schéma mathématique>

Je te recommande de faire, dès que tu as affaire à un exercice de géométrie très généralement ou ici de géométrie dans l’espace de toujours faire une figure qui soit grande et claire avec toutes les données de l’énoncé que ce soit sur ton brouillon ou sur ta copie. Ça te permettra vraiment de te représenter les choses beaucoup plus facilement. Tu n’auras pas à réfléchir, à t’imaginer à quoi vont ressembler les formes. Là tu auras un schéma clair sur quoi t’appuyer.
Donc nous, n’oublions pas la question, c’est de trouver l’équation du cylindre C qui est d’axe yOy’ et qui passe par notre point P. Alors notre cylindre quelle forme il a ? Notre cylindre C et d’axe ici y :

<Schéma mathématique>

Comment on va calculer cette longueur PP’ ? Donc on connaît les coordonnées de notre point P puisqu’elles sont données dans l’énoncé. Le Point P’ vu qu’il est le projeté de P sur l’axe y et plus précisément le projeté orthogonal de notre point P sur l’axe y alors il suffit d’annuler les coordonnées suivant l’axe x et suivant l’axe z donc -2 et 3 deviennent 0 puisque plus en détail je peux te faire un schéma qui fait que quand tu projettes P orthogonalement dans un premier temps sur le plan O ; x ; y et bien je l’avais dessiné tout à l’heure, c’est ce point là. Et ce point là quand il est projeté orthogonalement, il est projeté orthogonal du plan P sur le plan x ; O ; y donc il perd sa coordonnée suivant z.

Donc ce point P’’ il est de coordonnée -2 ; 5 et il perd sa coordonnée suivant z donc 0 puisqu’on l’a projeté sur le plan O; x; y et ce plan 0; x ; y il est justement d’équation z=0 et ensuite ce point P’’ on l’a re projeté orthogonalement finalement sur l’axe Oy. Donc un point qui avait une coordonnée sur x et une coordonnée sur y se projette selon l’axe y il va perdre sa coordonnée selon x et donc il perd le -2 et sa coordonnée en x devient 0.

Donc il nous reste un point P’ qui est de coordonnée (0 ; 5 ; 0) et pour calculer la distance entre 2 points dans l’espace tu connais la formule qui est la suivante :

<calcul mathématique>

Et voilà ! Donc on obtient une équation cartésienne de notre cylindre C.

Donc pour conclure finalement, le tout était de trouver le rayon de notre cylindre C sachant que le rayon d’un cylindre correspond finalement au rayon d’un cercle qui est l’intersection d’un plan perpendiculaire à notre cylindre.

Ici on a considéré le plan d’équation y=5 et de notre cylindre donc si tu considères l’intersection d’un cylindre et d’un plan perpendiculaire à ce cylindre ça te donne un cercle et le rayon de ce cercle je le repète et bien c’est le rayon de notre cylindre.

1ère S Equation de cylindre 2/2

Ici j’espère que tu as bien compris le calcul de notre rayon. Ce qu’on a fait finalement c’est projeter le point P qui appartient à notre cylindre sur l’axe de notre cylindre qui est l’axe Y, appelons le comme ça ce sera plus simple.

Donc, j’espère que tu as bien compris finalement que P’ est le projeté orthogonal de P mais surtout comment on a calculé les coordonnées de P’.

Alors ici je te les aient donné en quelque sorte puisque c’était assez intuitif par construction on voit que sa coordonnée suivant x et sa coordonnée suivant z deviennent nulles, il ne reste plus que la coordonnée suivant y de P, donc on garde le 5. C’est la seule chose qu’on a fais.

Sinon, pour la déterminer de façon plus détaillée cette coordonnée de P’ et bien je te recommande de dire tout simplement que tu souhaites projeter orthogonalement le point P sur l’axe OY.

Donc ce que tu peux faire c’est que comme tu sais que n’importe quel point sur l’axe Y sera de coordonnée 0 alors :

<calcul mathématique>

Il te reste à trouver Y. Alors comment le trouver ? Et bien tu sais que le vecteur PP’ est orthogonal au vecteur unitaire J, et le vecteur unitaire J est de coordonnée (0 ; 1 ; 0).

<calcul mathématique>

Ces 2 vecteurs sont orthogonaux. On traduit le fait que P’ est le projeté orthogonal de P sur l’axe Y. C’est pour ça qu’ici j’ai mis le signe angle droit. Et quand tu traduis ceci de façon analytique donc en utilisant la définition analytique du produit scalaire vu que tu connais les coordonnées du vecteur PP’.

<calcul mathématique>

On a juste traduis le fait que P’ c’est le projeté orthogonal de P sur l’axe Y et on l’a traduit à l’aide de vecteurs comme bien souvent d’ailleurs.