1ère S Equation de sphère

1ère S Équation de sphère

Comment déterminer l’équation cartésienne d’une sphère de centre O quand on connait un point de cette sphère ?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui dans l’exercice nous devons déterminer une équation de la sphère S de centre O et qui passe par le point A de coordonnées : 2, 1 et 3.

Alors même si ce n’est pas nécessaire on va quand même faire une petite figure. Donc je vais tracer un repère orthonormé, donc spatial avec 3 dimensions, et on va placer le point A.

Je place l’axe Z, l’axe X et l’axe Y. L’axe X, c’est ton pouce, l’axe Y c’est ton index, et l’axe Z c’est le majeur.

Donc en fait voilà, quand tu dessines un repère orthonormé suivant les 3 doigts de ta main droite et bien tu obtiens ce qu’on appelle un trièdre direct. Moi j’utilise toujours un trièdre direct pour représenter des points ou des vecteurs dans l’espace.

Donc ce qu’on va faire c’est qu’on va placer l’origine ici. Plaçons donc maintenant le point A d’abscisse 2. On va prendre des unités comme ceci. Donc chaque trait bleu correspond à une unité.

Ensuite d’ordonnée 1 : on avance d’un pas par là puis ensuite on monte de 3, et ça c’est notre point A. En fait le point O est derrière le point A en quelque sorte et le point A il avance plus vers toi.

Donc ensuite, la sphère O elle passe par le point A. donc puisque le point A est sur la sphère et là maintenant tu peux le voir très facilement donc cette distance là que je représente par ce segment en bleu, la distance de l’origine O jusqu’au point A, et bien c’est tout simplement le rayon de notre sphère. Donc ici on va l’appeler grand R. Et donc, ce qu’on va faire c’est que puisque tu connais, d’après ton cours, la forme générale de l’équation cartésienne d’une sphère de centre O.

<calcul mathématique>

Puisque tu connais cette équation cartésienne là dans un repère orthonormé alors nous ce qui nous reste à déterminer c’est R, et R c’est le rayon de la sphère.

Donc comment on va déterminer R ? Comme sur la figure je t’ai montré que R c’est la distance entre le point O et A. C’est la longueur au A. Et bien c’est ce qu’on va calculer. Donc pour calculer cette longueur au A on va calculer la distance entre le point O qui est l’origine et qui est donc de coordonnée 0 ; 0 ; 0 et le point A qui est de coordonnée 2 ; 1 ; 3. Et pour ce faire tu as une formule très simple de ton cours qui te donne la distance entre 2 points dans l’espace. Cette formule est aussi valable dans le plan. Il suffit d’enlever la différence des Z au carré. Alors je vais la noter tout de suite :

<calcul mathématique>

Si tu flaires un peu d’où vient cette formule, en fait elle provient de l’application du théorème de Pythagore. Mais ici on ne va pas le montrer, on ne va pas s’étendre là-dessus. Donc une fois que tu as cette formule là on va l’appliquer dans notre cas.

<calcul mathématique>

Voilà pour le résultat de cette question. Donc bien sûr la figure n’était pas indispensable mais ça permettait de visualiser un petit peu mieux comment est placée la sphère et comment est placé le point A sur cette sphère et tout simplement de te rendre compte que la distance au A c’était notre rayon R. Donc c’était la seule inconnue qu’il nous suffisait de déterminer pour obtenir l’équation de cette sphère.

Donc rappelle toi aussi que l’équation d’une sphère centrée dans un repère orthonormé, l’équation cartésienne, cartésienne car cela fait intervenir les coordonnées X, Y, et Z et bien cette équation c’est celle-ci.

<calcul mathématique>

Celle-ci il faut vraiment la retenir car c’est une équation que tu retrouveras souvent.

Enfin, pour rappel, quand tu as l’équation d’une sphère, qu’est ce que ça signifie ? Que X, Y, Z qui sont caractérisés par cette équation là. Cela signifie que si tu prends un point M de coordonnée X, Y et Z et que ces coordonnées vérifient cette équation et bien ça signifie tout simplement que le point M il est situé quelque part sur la sphère. De la même façon que pour n’importe qu’elle équation de droite, de plan, de sphère ici, de cercle, quand on est en 2D ou en 3D. Quand les coordonnées d’un point vérifient cette équation, ça signifie que le point est sur la droite, la sphère ou le cercle.