1ère S Equation trigo, formule cosinus
Bonjour à toi et bienvenue sur le blog Star en Maths TV. Aujourd’hui, dans cet exercice, nous allons résoudre une équation un petit peu particulière puisqu’elle est à base de fonction trigonométrique – les fonctions cosinus et sinus. C’est l’équation suivante :
<calcul mathématique>
Et, l’exercice te donne une indication. Il commence par te demander de développer :
<calcul mathématique>
Alors développer cosinus de x plus pi sur 3, tout de suite il te faut penser à la formule :
<calcul mathématique>
Il faut connaître cette formule-là, et il faut te souvenir en fait que pour les cosinus, cosinus de a + b et bien c’est cos cos, et lorsqu’il y a un plus et bien c’est inversé. Et pour le sinus de a + b et bien c’est sin cos mais le signe, lui, est conservé. Bon, c’est un petit moyen mnémotechnique pour te permettre de te rappeler de ces formules-là.
Donc ici on a :
<calcul mathématique>
Donc il nous suffit tout simplement de dire que :
<calcul mathématique>
Allons un petit peu plus loin dans le calcul, et peut-être que tu vois déjà apparaître quelque chose qui va ressembler à ça, puisqu’ici tu vois déjà un cosinus x et ici un moins sinus x, qu’on retrouve aussi ici. Alors que valent :
<calcul mathématique>
Et bien, si tu as un petit doute, tu peux tracer un cercle trigonométrique pour te rappeler les valeurs classiques des angles connus. Et bien,
<calcul mathématique>
Ce qui fait que, comme on a cela, on obtient ici notre équation qui est égale à :
<calcul mathématique>
Voilà, on a utilisé l’indication donnée par l’exercice, maintenant il faut aller plus loin pour trouver les solutions de l’équation :
<calcul mathématique>
Si tu regardes bien, ici au-dessus – je vais entourer ce qu’il y a au numérateur – et bien on retrouve toute l’équation ou presque. En tout cas on retrouve le terme de gauche. Et donc, ce qu’il te suffit de faire ici c’est de multiplier à gauche et à droite par 2, pour enlever ce qu’il y a au dénominateur – et tu vas retrouver le 2 ici.
Et donc une fois que tu associes, et bien tu peux tout simplement écrire que tu as :
<calcul mathématique>
Et c’est ça l’intérêt, tu vas voir. Et nous l’équation que l’on cherche à résoudre est ce terme-là :
<calcul mathématique>
Et cette équation, et bien tu peux la résoudre facilement si tu sais que le cosinus de quelque chose fonction de x égal un sur racine carrée de deux, et bien c’est équivalent à dire :
<calcul mathématique>
Donc ce qui est à l’intérieur de ce cosinus égal l’angle dont le cosinus égal un sur racine carrée de deux. Et donc c’est angle est pi sur quatre ou moins pi sur quatre :
<calcul mathématique>
Et ceci est équivalent à :
<calcul mathématique>
Voilà pour les solutions de cet exercice.
Finalement, la philosophie de cet exercice était d’utiliser la formule cosinus de a +b pour simplifier ce terme de gauche qui est tout de même compliqué – donc heureusement que l’exercice t’aidait!
3 Comments
Antonin
29 juillet 2011Bonjour,
l’équivalence cos((x+pi)/3)=1/racinede2 (x+pi)/3=pi/4+2kpi est elle aussi valable pour un sinus ou une autre valeur du cosinus de l’angle (x+pi)/3 (1/2 par exemple) ?
Merci!
Romain
31 juillet 2011Antonin,
Attention quand tu dis « l’équivalence cos((x+pi)/3)=1/racinede2 (x+pi)/3=pi/4+2kpi » , ce n’est pas vrai !
Et, 2ème chose, tu t’es trompé un poil dans le parenthésage : ce n’est pas « cos((x+pi)/3) » mais « cos(x+pi/3) », tout simplement. Seul le PI est sur 3, pas le « x » !
Tu as une équivalence entre cos(x+pi/3)=1/racinede2 et {x+pi/3=pi/4+2kpi OU x+pi/3=-pi/4+2kpi} Il ne faut JAMAIS oublier ce qu’il y a derrière le « OU ».
A- Voici le cas général de cette équivalence qui ne marche que pour cosinus :
cos x = cos alpha {x=alpha+2kPI OU x= – alpha+2kPI}
B – Voici le cas général pour une égalité de 2 sinus, c’est différent !
sin x = sin alpha {x=alpha+2kPI OU x= PI – alpha+2kPI}
Tu comprends mieux ? Donc, nous dans cet exercice, nous avons utilisé A avec le « x » remplacé par « x+PI/3 » et alpha remplacé par PI/4 (ou -PI/4 d’ailleurs, tu choisis l’un des deux. ça te donnera les mêmes solutions à la fin ; car, en effet, cos(x+pi/3)=1/racinede2 = cos (PI/4) = cos (-PI/4))
Il faut bien comprendre ça Antonin 😉 ! N’hésite pas si tu as une autre hésitation
Romain
ibrahima
5 mars 2014bonjour!
j’aimerai avoir des exercices en format PDF avec corrigé car vous je ne comprend rien avec la trigonométrie .Quand même merci pour la vidéo
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