1ère S Equation trigo, formule cosinus

1ère S Equation trigo, formule cosinus

Bonjour à toi et bienvenue sur le blog Star en Maths TV. Aujourd’hui, dans cet exercice, nous allons résoudre une équation un petit peu particulière puisqu’elle est à base de fonction trigonométrique – les fonctions cosinus et sinus. C’est l’équation suivante :

<calcul mathématique>

Et, l’exercice te donne une indication. Il commence par te demander de développer :

<calcul mathématique>

Alors développer cosinus de x plus pi sur 3, tout de suite il te faut penser à la formule :

<calcul mathématique>

Il faut connaître cette formule-là, et il faut te souvenir en fait que pour les cosinus, cosinus de a + b et bien c’est cos cos, et lorsqu’il y a un plus et bien c’est inversé. Et pour le sinus de a + b et bien c’est sin cos mais le signe, lui, est conservé. Bon, c’est un petit moyen mnémotechnique pour te permettre de te rappeler de ces formules-là.

Donc ici on a :

<calcul mathématique>

Donc il nous suffit tout simplement de dire que :

<calcul mathématique>

Allons un petit peu plus loin dans le calcul, et peut-être que tu vois déjà apparaître quelque chose qui va ressembler à ça, puisqu’ici tu vois déjà un cosinus x et ici un moins sinus x, qu’on retrouve aussi ici. Alors que valent :

<calcul mathématique>

Et bien, si tu as un petit doute, tu peux tracer un cercle trigonométrique pour te rappeler les valeurs classiques des angles connus. Et bien,

<calcul mathématique>

Ce qui fait que, comme on a cela, on obtient ici notre équation qui est égale à :

<calcul mathématique>

Voilà, on a utilisé l’indication donnée par l’exercice, maintenant il faut aller plus loin pour trouver les solutions de l’équation :

<calcul mathématique>

Si tu regardes bien, ici au-dessus – je vais entourer ce qu’il y a au numérateur – et bien on retrouve toute l’équation ou presque. En tout cas on retrouve le terme de gauche. Et donc, ce qu’il te suffit de faire ici c’est de multiplier à gauche et à droite par 2, pour enlever ce qu’il y a au dénominateur – et tu vas retrouver le 2 ici.

Et donc une fois que tu associes, et bien tu peux tout simplement écrire que tu as :

<calcul mathématique>

Et c’est ça l’intérêt, tu vas voir. Et nous l’équation que l’on cherche à résoudre est ce terme-là :

<calcul mathématique>

Et cette équation, et bien tu peux la résoudre facilement si tu sais que le cosinus de quelque chose fonction de x égal un sur racine carrée de deux, et bien c’est équivalent à dire :

<calcul mathématique>

Donc ce qui est à l’intérieur de ce cosinus égal l’angle dont le cosinus égal un sur racine carrée de deux. Et donc c’est angle est pi sur quatre ou moins pi sur quatre :

<calcul mathématique>

Et ceci est équivalent à :

<calcul mathématique>

Voilà pour les solutions de cet exercice.

Finalement, la philosophie de cet exercice était d’utiliser la formule cosinus de a +b pour simplifier ce terme de gauche qui est tout de même compliqué – donc heureusement que l’exercice t’aidait!