1ère S Equation trigo, formule cosinus
Bonjour à toi et bienvenue sur le blog Star en Maths TV. Aujourd’hui, dans cet exercice, nous allons résoudre une équation un petit peu particulière puisqu’elle est à base de fonction trigonométrique – les fonctions cosinus et sinus. C’est l’équation suivante :
<calcul mathématique>
Et, l’exercice te donne une indication. Il commence par te demander de développer :
<calcul mathématique>
Alors développer cosinus de x plus pi sur 3, tout de suite il te faut penser à la formule :
<calcul mathématique>
Il faut connaître cette formule-là, et il faut te souvenir en fait que pour les cosinus, cosinus de a + b et bien c’est cos cos, et lorsqu’il y a un plus et bien c’est inversé. Et pour le sinus de a + b et bien c’est sin cos mais le signe, lui, est conservé. Bon, c’est un petit moyen mnémotechnique pour te permettre de te rappeler de ces formules-là.
Donc ici on a :
<calcul mathématique>
Donc il nous suffit tout simplement de dire que :
<calcul mathématique>
Allons un petit peu plus loin dans le calcul, et peut-être que tu vois déjà apparaître quelque chose qui va ressembler à ça, puisqu’ici tu vois déjà un cosinus x et ici un moins sinus x, qu’on retrouve aussi ici. Alors que valent :
<calcul mathématique>
Et bien, si tu as un petit doute, tu peux tracer un cercle trigonométrique pour te rappeler les valeurs classiques des angles connus. Et bien,
<calcul mathématique>
Ce qui fait que, comme on a cela, on obtient ici notre équation qui est égale à :
<calcul mathématique>
Voilà, on a utilisé l’indication donnée par l’exercice, maintenant il faut aller plus loin pour trouver les solutions de l’équation :
<calcul mathématique>
Si tu regardes bien, ici au-dessus – je vais entourer ce qu’il y a au numérateur – et bien on retrouve toute l’équation ou presque. En tout cas on retrouve le terme de gauche. Et donc, ce qu’il te suffit de faire ici c’est de multiplier à gauche et à droite par 2, pour enlever ce qu’il y a au dénominateur – et tu vas retrouver le 2 ici.
Et donc une fois que tu associes, et bien tu peux tout simplement écrire que tu as :
<calcul mathématique>
Et c’est ça l’intérêt, tu vas voir. Et nous l’équation que l’on cherche à résoudre est ce terme-là :
<calcul mathématique>
Et cette équation, et bien tu peux la résoudre facilement si tu sais que le cosinus de quelque chose fonction de x égal un sur racine carrée de deux, et bien c’est équivalent à dire :
<calcul mathématique>
Donc ce qui est à l’intérieur de ce cosinus égal l’angle dont le cosinus égal un sur racine carrée de deux. Et donc c’est angle est pi sur quatre ou moins pi sur quatre :
<calcul mathématique>
Et ceci est équivalent à :
<calcul mathématique>
Voilà pour les solutions de cet exercice.
Finalement, la philosophie de cet exercice était d’utiliser la formule cosinus de a +b pour simplifier ce terme de gauche qui est tout de même compliqué – donc heureusement que l’exercice t’aidait!
3 réponses
Bonjour,
l’équivalence cos((x+pi)/3)=1/racinede2 (x+pi)/3=pi/4+2kpi est elle aussi valable pour un sinus ou une autre valeur du cosinus de l’angle (x+pi)/3 (1/2 par exemple) ?
Merci!
Antonin,
Attention quand tu dis « l’équivalence cos((x+pi)/3)=1/racinede2 (x+pi)/3=pi/4+2kpi » , ce n’est pas vrai !
Et, 2ème chose, tu t’es trompé un poil dans le parenthésage : ce n’est pas « cos((x+pi)/3) » mais « cos(x+pi/3) », tout simplement. Seul le PI est sur 3, pas le « x » !
Tu as une équivalence entre cos(x+pi/3)=1/racinede2 et {x+pi/3=pi/4+2kpi OU x+pi/3=-pi/4+2kpi} Il ne faut JAMAIS oublier ce qu’il y a derrière le « OU ».
A- Voici le cas général de cette équivalence qui ne marche que pour cosinus :
cos x = cos alpha {x=alpha+2kPI OU x= – alpha+2kPI}
B – Voici le cas général pour une égalité de 2 sinus, c’est différent !
sin x = sin alpha {x=alpha+2kPI OU x= PI – alpha+2kPI}
Tu comprends mieux ? Donc, nous dans cet exercice, nous avons utilisé A avec le « x » remplacé par « x+PI/3 » et alpha remplacé par PI/4 (ou -PI/4 d’ailleurs, tu choisis l’un des deux. ça te donnera les mêmes solutions à la fin ; car, en effet, cos(x+pi/3)=1/racinede2 = cos (PI/4) = cos (-PI/4))
Il faut bien comprendre ça Antonin 😉 ! N’hésite pas si tu as une autre hésitation
Romain
bonjour!
j’aimerai avoir des exercices en format PDF avec corrigé car vous je ne comprend rien avec la trigonométrie .Quand même merci pour la vidéo