1ère S Equations simples avec une valeur absolue

Comment résoudre une équation simple avec une valeur absolue ?

Bonjour à toi et bienvenue dans cette vidéo star-en-maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien. Alors dans cette vidéo nous allons résoudre deux équations assez simples avec une valeur absolue. On va vraiment faire une vidéo pour chaque équation pour bien expliquer les choses.
Alors dans cette première équation on a valeur absolue de 2x+3=5. Alors quand on veut résoudre une équation, je pense que tu es d’accord avec moi, ce qu’on essaie de faire comme première chose, c’est d’essayer d’isoler le x tout seul d’un côté.
Mais le problème, c’est que quand on a des valeurs absolues, c’est-à-dire cette double barre ici, on est un petit peu perturbé, on ne sait pas trop comment faire parce que ça bloque tout en fait. Là on ne peut pas vraiment sortir le x des barres et puis manipuler les choses comme on veut.
Donc ce qu’on essaie de faire, c’est que dès qu’on a une valeur absolue, on essaie de l’enlever. On essaie de se débarrasser de ces barres parce qu’elles nous embêtent et on aimerait faire sans.

Alors le problème c’est qu’il faut que tu connaisses vraiment ton cours sur la valeur absolue pour pouvoir enlever ces fameuses barres. En effet, on va rappeler quelque chose sur la valeur absolue, c’est-à-dire sa définition de base.
C’est vraiment la définition à laquelle tu vas pouvoir te rattacher tout le temps dès que tu as une valeur absolue. Ça marchera tout le temps cette chose que je vais écrire et je pense que c’est quasiment la seule chose à savoir sur la valeur absolue même si c’est bien de connaitre aussi des choses sur la courbe de la valeur absolue par exemple.
Valeur absolue de X, c’est-à-dire valeur absolue d’un « truc » en général, c’est égal au « truc » c’est-à-dire X si X est supérieur ou égal à 0. Mais c’est égal à -X si X est inférieur strictement à 0. Donc en fait, on divise en deux cas. Valeur absolue d’un « truc » ça vaut le « truc » donc sans les barres, si le truc est supérieur ou égal à 0. Et le reste du temps ça vaut moins le « truc ».
Donc tu vois bien que dans cette deuxième colonne, à droite du égal, il n’y a plus de barres. Donc c’est ça qu’on va utiliser.

Là, on va diviser notre équation en deux cas. Notre équation elle va se transformer en deux cas possible, deux équations possibles.
Dans un premier temps, si tu as 2x+3 (c’est-à-dire tout ce qu’il y a entre les barres) supérieur ou égal à O (tu vois c’est le X en fait le 2x+3), alors cette valeur absolue de 2x+3 (sans parler encore de l’équation =5) est égale à 2x+3. Ça c’est plutôt du pain béni parce qu’en fait on a enlevé tout simplement les barres.
Donc là on se pose la question : que deviens notre équation dans ce cas-là ? Et bien tout simplement, tu peux enlever les barres, 2x+3=5. C’est juste dans ce cas-là, il ne faudra pas oublier le deuxième cas juste après. Cette équation c’est très simple à résoudre. Ça va te fournir quoi ? Quand tu passes le 3 à droite, tu vas faire -3 des deux côtés du égal, ça va te donner 2x=5-3 donc 2x=2. Et du coup quand tu divises des deux côtés du égal par 2 pour te débarrasser du 2 devant le x, ça va te donner x=1.
Et donc il y a une chose qu’il faut vérifier quand même, c’est est-ce que x=1 ça satisfait bien cette condition : 2x+3 supérieur ou égal à 0, tu vois que c’est une petite inéquation qu’on peut résoudre. Ça ne mange pas de pain de la résoudre c’est-à-dire qu’il faut le faire. Ça va te donner :
« Calcul mathématique »
Ça te donne x supérieur ou égal à -3/2 donc -1,5 si tu veux en nombre décimal. Donc ça, c’est équivalent à x supérieur ou égal à -3/2. Donc si x supérieur à -3/2, alors cette équation là devient celle-ci qui te fournit x=1. Et x=1 ça marche bien, c’est bien supérieur à -3/2. Il faut bien vérifier ça parce que des fois ça ne marchera pas. Le x que tu obtiens à la fin, il faut bien vérifier qu’il satisfait cette condition ici. Le si, c’est ce qu’on appelle une condition en français. Il faut bien vérifier si la condition est respectée à la fin.

ET deuxième cas, c’est l’autre cas en fait. Si 2x+3 n’est pas positif ou égal à 0 mais est strictement négatif. C’est le reste du temps si tu veux. Donc si 2x+3 est strictement négatif, on va le dire tout de suite, ça revient à si (si tu passes le +3 à droite et en divisant par 2) x strictement à -3/2. C’est logique, tu vois c’est le reste du temps.
Et bien dans ce cas-là, que devient la valeur absolue de 2x+3 ? Ça se dit comme ça. On ne dit pas 2x+3 avec les barres. On dit valeur absolue de 2x+3. Et bien ça, c’est égal à -X, c’est-à-dire moins ce qu’il y a à l’intérieur des barres. Donc -(2x+3). Et là, on développe. Tu vois c’est vraiment la façon posée que je t’encourage à utiliser. On fait ça lentement, on utilise bien la définition en noir de la valeur absolue. Ça va donner -2x-3.
ET donc, ton équation qu’est-ce qu’elle devient ? Tu peux remplacer tout simplement ceci, le membre de gauche, par tout cela, par -2x-3. Donc on le fait et ça va devenir -2x-3=5.
Alors on résout cette petite équation du premier degré sans les barres. Ça on sait résoudre, c’est simple. Il suffit juste d’isoler le x tout seul d’un côté et ça va nous donner, en passant le -3 à droite, -2x=5+3=8 et on divise par -2 à gauche et à droite pour enlever le -2 devant le x, ça va donner x=-8/2 donc x=-4.
Est-ce que ça satisfait bien la condition ? Il faut toujours bien se demander ça. Est-ce que -4 comme x c’est bien inférieur à -3/2 ? Il n’y a pas de souci. Pas de problème là-dessus.

Donc voilà nos solutions. On a trouvé x=1 et x=-4. Donc à la fin tu peux tout à fait mettre S={-4;1}. On essaie toujours de ranger les solutions dans l’ordre croissant.
Donc voilà pour nos solutions. J’espère que tu as bien compris comment faire. L’idée, c’était de se débarrasser des barres et donc d’utiliser tout simplement la définition de la valeur absolue ici en noir.

Tu peux aussi utiliser un tableau pour faire apparaitre cette expression là sans les barres. Le tableau serait le suivant : tu aurais x dans la première ligne d’un tableau, un peu comme un tableau de signe ou un tableau de variation mais ce n’est pas un tableau de signe ou de variation. C’est juste pour simplifier ceci, pour enlever les barres.
Donc quand x est compris entre -l’infini et -3/2… En résolvant 2x+3=0 on avait trouvé -3/2. On va retrouver notre -3/2 là. Et on met notre +l’infini. Et là, tu fais ton tableau. Que devient valeur absolue de 2x+3 ? Quand x vaut -3/2 ça fait 0. Tu peux le mettre si tu veux mais tu n’es pas obligé. Ça fait bien 0 parce que quand x est remplacé par -3/2, tout ça ça vaut 0. Et valeur absolue de 0 ça fait 0.
ET sur cet intervalle, vu que 2x+3… Il faut connaitre un peu les fonctions affines, qui est à l’intérieur en fait de ta valeur absolue. 2x+3 c’est une fonction affine croissant étant donné son coefficient directeur 2, donc elle est négative avant l’annulation et ensuite elle est positive.
Donc ici, vu que c’est négatif 2x+3, et bien valeur absolue d’un « truc » négatif c’est moins ce qu’il y a dedans. Donc c’est -2x-3 dans cette partie gauche. Et c’est bien ce qu’on avait trouvé ici. Si x est inférieur à -3/2, on avait bien trouvé que valeur absolue de 2x+3 valait -2x-3.
Et le reste du temps, c’est-à-dire quand x est supérieur à -3/2, valeur absolue de 2x+3 vaudra ce qu’il y a dedans, donc 2x+3.

Ce tableau te permet de bien visualiser les choses. En fait ça redit nos petites conditions si… alors… de façon concise
Donc voilà le petit tableau qu’on peut utiliser. Et après, tu résous en fait ton équation dans chacun des cas que tu obtiens. Tu résous ton équation dans ce cas-là et dans ce cas-là une fois que tu as ton tableau.
Mais en fait ça revient exactement au même que ce qu’on a fait mais c’est juste pour te montrer qu’on peut dresser un tableau pour avoir une visualisation plus simple de cette expression ici sans les barres.
Donc maintenant on va faire la même chose pour la deuxième équation ici présente.

Équations simples avec une valeur absolue
Vidéo 2/2
2ème équation

Dans cette vidéo nous allons résoudre la deuxième équation avec une valeur absolue de cet exercice : valeur absolue de 5-2x égal 1.
Si tu n’as pas vu la première vidéo correspondant à la résolution de cette équation je t’encourage à aller la voir parce que nous avions rappelé notamment la définition de la valeur absolue que j’ai laissée ici en noir :
C’est-à-dire que valeur absolue d’un truc, ça vaut le truc, c’est-à-dire X si X est supérieur ou égal à 0. Et ça vaut moins le truc, c’est-à-dire moins X si le truc est inférieur à 0. Ça marche ? C’est vraiment ça qui est à la base de la valeur absolue, c’est vraiment ça sa définition.
C’est-à-dire que si tu utilises ça quand tu as une valeur absolue, que tu ne sais plus trop comment on fait mais par contre que tu te rappelles bien de cette définition et que tu l’appliques rigoureusement, tu ne te tromperas jamais dans tous les exercices avec la valeur absolue. C’est quelque chose vraiment qui marche tout le temps parce que c’est ça qui est la base de la valeur absolue.

Donc là, nous allons appliquer ça pour notre deuxième équation, c’est-à-dire que dès qu’on a une équation avec une valeur absolue, je te le disais dans la vidéo précédente, on essaie de se débarrasser de cette valeur absolue, c’est-à-dire des fameuses barres ici verticales, qu’on n’aime pas. On n’en veut pas parce que c’est quelque chose qui complexifie ton équation, on ne peut pas vraiment se débrouiller, on ne peut pas isoler le x tout seul d’un côté donc le but, c’est de s’en débarrasser.
Alors là, ce que je te propose de faire, c’est de faire un petit tableau et de mettre dans ce tableau les simplifications de cette expression. C’est-à-dire qu’on va mettre cette expression dans un tableau sans les barres. Donc pour ce faire, on applique cette définition en noir. C’est-à-dire quoi ?
Et bien c’est-à-dire que valeur absolue de 5-2x c’est égal à 5-2x si 5-2x est supérieur ou égal à 0. Qu’est-ce que ça donne 5-2x supérieur ou égal à 0 ? ET bien quand je passe le -2x à droite, ça donne tout simplement 5 supérieur ou égal à 2x. Autrement di 2x inférieur ou égal à 5, c’est pareil. ET on passe le 2 à gauche, en divisant ton inéquation par 2 à gauche et à droite. Tu te souviens que diviser par 2 ça ne change pas le sens de ton inéquation puisque 2 est positif. Alors que multiplier ou diviser par un nombre négatif, tu te souviens, ça change le sens.
Ici ce n’est pas le cas. On divise par deux et ça va donner tout simplement x inférieur ou égal à 5/2. 5/2 c’est aussi le nombre décimal 2,5.

Alors maintenant, une fois qu’on sait ça, 5/2 c’est la valeur charnière qui fait que 5-2x s’annule. Parce que quand x égal 5/2, 5-2x s’annule, tu peux le calculer si tu veux. 5-2*2,5. Et bien regarde ce que ça va donner, on fait un tableau.
x, -l’infini, +l’infini. Ce n’est pas un tableau de variation ni un tableau de signe, c’est juste un tableau pour simplifier ce côté gauche de l’équation. Et ensuite on va résoudre notre équation dans les deux cas qui vont survenir. Donc là, on va avoir 5/2.
On va avoir notre valeur absolue ici qui va se simplifier. Valeur absolue de 5-2x et bien ça va donner quoi ? Là, il faut connaitre un petit peu le signe d’une fonction affine. C’est-à-dire que 5-2x, sans la valeur absolue, c’est une fonction affine du type ax+b dont le coefficient directeur est -2 donc la fonction affine est décroissante. Pour toi ça donnera une droite comme ça. Ça veut donc dire qu’à gauche elle est positive et à droite, quand elle passe sous l’axe des abscisses elle est négative. Donc c’est plus avant et moins après.
Donc 5-2x est positif avant. Et valeur absolue d’un truc positif, c’est ce truc. Donc là, on obtient tout simplement 5-2x. Et à droite, on obtient l’opposé de 5-2x parce que valeur absolue d’un truc qui est négatif, c’est tout simplement moins ce truc, c’est-à-dire -(5-2x) ce qui donne 2x-5 ou -5+2x, c’est pareil. Donc ici on va mettre -5+2x, c’est-à-dire le -X, on est dans ce cas-là. Et ici, on obtient notre 0 qu’on peut indiquer.

Donc voilà, une fois qu’on n’a plus les barres, on résout notre équation dans ces deux cas-là. 1er cas et bien on remplace ça par 5-2x et notre équation devient tout simplement 5-2x=1. Mais attention, tout ça c’est quand x appartiens à cet intervalle. C’est important. C’est la condition si tu veux. C’est la condition 1: x compris entre -l’infini et 5/2. C’est-à-dire x inférieur à 5/2.
Et donc cette équation, il n’y a plus de barres. C’est ça le but, il n’y a plus de barres donc on sait résoudre. C’est tout simple, quand on passe le 5 à droite, on obtient -2x=1-5 donc -2x=-4. On enlève les moins en multipliant par -1 des deux côtés. Ça donne 2x=4 autrement dit x=4/2 donc x=2. Donc voilà la première solution.
ET est-ce que c’est bien une solution? On vérifie bien que ça satisfait la condition. Et bien ça marche sans souci parce que 2 c’est bien dans l’intervalle ]-l’infini;5/2[. 2 c’est bien inférieur à 5/2, à 2,5.

ET le deuxième cas, c’est que ton équation elle devient, quand x est supérieur ou égal à 5/2, -5+2x=1 autrement dit 2x-5=1 On passe le -5 à droite. Ça va faire 2x=6. Donc x=6/2 c’est-à-dire x=3.
Et est-ce que c’est bien une solution ? Je pense que oui parce qu’en fait dans ce deuxième cas les x doivent être compris entre 5/2 et +l’infini et 3 ça marche bien c’est bien une solution qui satisfait la condition de base.
Donc voilà pour tes solutions de cette équation. J’espère que tu as bien compris comment on a enlevé les barres. On s’est vraiment fié à cette définition en noir. On a fait un tableau mais tu n’es pas du tout obligé de faire ce tableau. Ce tableau, il est là pour aider quand tu sais comment ça marche cette simplification et là juste pour aller un peu plus vite, pour bien visualiser ce que devient ton expression dans chacun des deux cas.
Et donc les solutions tu peux les noter comme ça à la fin : S= {2 , 3}.

Donc j’espère en tout cas que tu as bien compris comment on a enlevé les barres pour une valeur absolue. On peut les enlever en fait, j’espère que tu as bien compris ça, dans certaines conditions. Et les conditions sont données ici. Tu vois, c’est le « si » qui te donne les conditions.
SI ce qu’il y a à l’intérieur de la valeur absolue est positif, et bien la valeur absolue de tout ça, c’est le truc. Et si ce n’est pas le cas, et bien c’est moins le truc.
Donc voilà comment ça marche une valeur absolue et si tu appliques bien rigoureusement cette règle dans tous les exercices que tu auras avec les valeurs absolues, je pense que tu n’auras pas de problème. Et ce que je t’encourage à connaitre aussi sur les valeurs absolues c’est la courbe un petit peu de la valeur absolue de x, qui est une fonction de référence qu’on étudie en début de 1ère S généralement. Connaitre sa courbe, ça peut être aussi utile.
Voilà donc pour cet exercice sur des équations simples avec des valeurs absolues.