1ère S Etude de la monotonie d’une suite strictement positive
Donc, soit la suite Un définie pour :
<calcul mathématique>
par :
<calcul mathématique>
Encore une fois dans cet exercice il faut étudier la monotonie de cette suite. Alors, ce que tu peux remarquer, premièrement dans cette suite, qui est un rapport de nombres strictement positifs – on va voir pourquoi – et bien c’est que pour étudier la monotonie d’une telle suite, tout de suite tu peux t’intéresser au rapport
<calcul mathématique>
à exprimer pour tout N, ici, supérieur ou égal à 1. Alors, souvent, quand les suites sont strictement positives et sont exprimées sous forme de rapport comme celui-ci, et bien étudier ce rapport Un+1 sur Un, et bien c’est beaucoup plus simple. Ensuite, pour savoir si la suite est croissante ou décroissante, il te suffira de comparer ce rapport-là à 1. D’accord?
Si;
<calcul mathématique>
Donc du coup, si tu multiplies à gauche et à droite par Un, et sachant que Un est une suite strictement positive, tu obtiens :
<calcul mathématique>
D’accord? Et ça, ça signifie vraiment bien que la suite Un est décroissante. D’accord?
Si, inversement,
<calcul mathématique>
Alors, en multipliant encore une fois à gauche et à droite par Un, qui est un nombre positif, donc le signe de l’inégalité ne change pas, et bien tu obtiens :
<calcul mathématique>
Et cela veut bien dire que la suite Un est croissante. D’accord?
Et si c’est égal à 1 – je ne l’ai pas noté ici – mais si tu trouves que le rapport est égal à 1 pour tout N supérieur et égal à 1, et bien ça montre que la suite est constante.
Et enfin, quatrième cas, si tu trouves que parfois c’est supérieur à 1, parfois c’est égal à 1 et parfois c’est en-dessous de 1, et bien la suite Un n’est ni croissante, ni décroissante et ni constante.
Donc voilà, nous allons calculer ce rapport-là. Alors, c’est parti.
<calcul mathématique>
Ensuite je mets mon trait de fraction central, ici, qui doit toujours être entre le signe égal, en fait au niveau du égal. J’ai un élève qui met tout le temps son trait de fraction un peu au-dessus ou un peu au-dessous du égal; dans ce genre de cas, justement, ça peut porter à confusion, puisque si j’avais mis ce trait de fraction là au niveau du égal, et bien le calcul n’a plus le même sens. Donc c’est important de prendre des bonnes habitudes.
Donc,
<calcul mathématique>
D’accord? Donc, ce qui fait que tout ceci est égal à (vous voyez que je mets le trait de fraction bien au niveau du égal) – ce qui fait qu’un nombre divisé par un nombre, c’est aussi le premier nombre multiplié par l’inverse du deuxième :
<calcul mathématique>
Voilà. Je te rappelles la règle de calcul qui est très importante, qui est que pour un nombre U, n’importe quel nombre U puissance a+b, et bien c’est égal à U puissance a fois U puissance b. D’accord?
Donc, ici, 3 puissance n+1 est égal à 3 puissance n fois 3 puissance 1. D’accord? Et 3 puissance 1, c’est 3. Un nombre puissance 1, c’est ce nombre. Donc, voilà, ça c’était dans la marge – et donc je continue le calcul ici :
<calcul mathématique>
Bon. On trouve donc que si on simplifie ici par 3 puissance n :
<calcul mathématique>
Je te rappelle la règle de calcul élémentaire qui est que :
<calcul mathématique>
Donc c’est élémentaire mais je préfère le rappeler quand même. Voilà, donc on obtient ce résultat-là, pour ce rapport-là, Un+1 sur Un.
Et pour étudier la monotonie de la suite Un, et bien il faut comparer ce rapport-là à 1. Donc, étudions un peu, ou regardons tout simplement le résultat de notre calcul; 3n, sur n+1.
Alors, si tu regardes bien, pour n=1, on obtient :
<calcul mathématique>
Si tu regardes en fait pour n=2, par exemple, et bien tu as :
<calcul mathématique>
En fait, ce que tu remarques, c’est que tout simplement 3n est supérieur ou égal à n+1 pour tout N supérieur ou égal à 1.
Et en fait, comment t’en convaincre autrement, tu peux tracer dans un repère orthonormé – très rapidement – les deux droites. La droite 3n, c’est une droite – je la fais partir de l’origine – c’est une droite à peu près comme ça. Et la droite y=n+1, et bien ce serait la droite qui pour N=0 serait ici, donc 1, d’accord? Et sa pente est 1, donc elle monte moins vite que l’autre. D’accord?
Donc, tu vois bien que pour tout N supérieur ou égal à 1, et bien on a notre droite y=3n qui est au-dessus de la droite y=n+1.
Bon, c’était juste une façon graphique pour te faire réaliser que 3n est toujours au-dessus de n+1, c’est-à-dire supérieur à n+1. Donc, le rapport 3n sur n+1 est toujours supérieur à 1, bien sûr pour N supérieur ou égal à 1.
Donc, la conclusion de tout ça, est que la suite (Un), que l’on note bien avec des parenthèses, est croissante.
Voilà pour le résultat de cet exercice; donc bien sûr elle est monotone, puisqu’elle est croissante. Je te rappelle que monotone signifie soit croissant soit décroissant – donc ici elle est croissante.
Et cet exercice était un petit peu particulier puisque la suite Un était strictement positive pour tout N, donc c’était beaucoup plus facile de s’intéresser au rapport Un+1 sur Un plutôt qu’à la différence comme d’habitude, je dirais, Un+1-Un.
Ok donc, juste auparavant, je t’ai montré que
<calcul mathématique>
était supérieur à 1, c’est-à-dire que 3n était supérieur à n+1 pour N supérieur ou égal à 1 de façon plutôt intuitive. Et en fait, ce qu’il faudrait mettre sur ta copie ce n’est pas ‘oui ça marche pour n=1, oui ça marche pour n=2, donc ça marche pour tous les N supérieur ou égal à 1’. Ce n’est pas vraiment convaincant pour le professeur.
Ce qu’il faut mettre, c’est ça :
Vu que tu étudies les N supérieur ou égale à 1, et bien tu mets
<calcul mathématique>
Tout simplement. Et cette inégalité-là, tu peux aller un peu plus loin, toujours dans le but de montrer que 3n est supérieur ou égal à n+1 – et bien tu ajoutes un N à gauche et à droite :
<calcul mathématique>
Donc, si n+n est supérieur ou égale à n+1, et bien déjà on a :
<calcul mathématique>
Donc moi je peux dire, de façon complètement sensée, que 2n est inférieur ou égal à 3n. Donc là, on vient vraiment de démontrer que 3n est supérieur ou égal à n+1. Donc, le rapport :
<calcul mathématique>
Voilà. C’est une façon de démontrer à ton professeur que tu as bien compris que 3n est supérieur à n+1.
13 réponses
bonjour reponds-moi svp et merci
1) Mq pour tout nN^ on a : n ≥ 2^(n-1 )
2) on considère la suite U définie sur N^ par U_n=1+1/1!+1^ /2!+⋯ 1/n!
a)Mq U est majorée par 3
b) Mq U est croissante .en déduire qu’elle converge
3) on pose pour n N^ , V_n= U_n+ 1/(n (n!))
a)Mq V est décroissante
b)Mq (p,g) N^ On a : U_p ≤ V_g
c) En déduire que V converge
d)Mq lim┬(n→ +∞)〖U_n 〗 = lim┬(n→ +∞) V_n
Salut Wafa,
Merci pour tes questions. Qu’as-tu réussi ? Quelques-unes au moins 😉 ?
1 ) Pour tout n≥2,Tu as 2≥2, 3≥2, 4≥2, 5≥2 … et n≥2, donc en multipliant membre à membre, tu obtiens bien (factorielle n)≥2^(n-1 )
2 ) a ) Utilise la conclusion de 1) … si (factorielle n)≥2^(n-1 ), alors, 1 / (factorielle n) <= 1/2^(n-1 ), puis tu fais la somme… tu vas tomber sur la somme d'une suite géométrique de raison ?
b ) pour montrer qu'elle est croissante, toujours la même méthode ! Tu étudies le signe de U_(n+1) – U_n, pour tout n au-dessus d'un certain rang.
On verra ensemble pour 3), dis-moi que tu as compris jusqu'ici 😉 !
Romain
salut je voudrais que vous résolvez ça pour moi:
1 sur n+1 fois la somme des k allant de n à 2n de f(-1) racine de k inférieur ou égal à Un inférieur ou égal à 1 sur n+1 foi la somme des k allant de n à 2n de f(-1) 1 sur racine de k
a- montrer que Un est convergente et calculer sa limite
slt merci Mr
Pour 2)a)j’ai trouvé que U est majorée par 1 non par 3 en utilisant votre méthode
j’ai trouvé
∑_(k=1)^n▒1/k ≤∑_(k=1)^n▒1/2^(k-1) avec ∑_(k=1)^n▒1/2^(k-1) est la somme d’une suite géometrique qui vaut 1
donc
∑_(k=1)^n▒1/k =U
suis-je mal compris?!!
merci
Bonjour Wafa, la somme de 1 à n des 1/2^(k-1) est différente de 1, regarde précisément ! Ca doit dépendre de n.
bonjour Mr
Oui,j’ai fait une faute de calcul
enfin j’ai trouvé que Un≤〖(2^(n )-1)〗^2/2^n
aprés j’ai comparé 〖(2^(n )-1)〗^2/2^n à 3 et j’ai trouvé quelle inférieure à 3 et comme
Un≤〖(2^(n )-1)〗^2/2^n≤3 donc Un est majorée par 3.
pour 2)b) c’est claire
merci
Ok, ça me paraît bon ! Même s’il faudrait vérifier ton calcul en détail 😉 …
… mais je te fais confiance. C’est bien en tout cas, Bravo 😉 !
Romain
Merci bcp pour votre explication
Pour 3) j’essayais de le faire mais je ne sais pas est-ce-que c’est correcte ou non c’est pour cela si vous pouvez dite-moi comment vous avez raisonné pour 3)b) et d).
Merci bcp d’avance
[…] W(n+1) est utile dans les exercices sur les suites en Maths, car souvent, pour étudier les variations d’une suite (savoir si elle est monotone ou non déjà), tu dois comparer, pour tout n faisant partie de son […]
bonjour comment etudier la monotonie de cette suite
√(n/n+1)
merci
Sarah, tu peux calculer U(n+1) / Un et comparer ce rapport à 1 !
bonjours monsieur romain j’ ai problème considèrent (la suite de Cauchy) ;;;svp tu peut m’aider par une petite video qui resume comment montrer qu’une suite est de Cauchy ..et n’oublier ps svp des exemples et merci! 🙂
Je voudrais savoir la réponse à cet exercice:
1 sur n+1 fois la somme des k allant de n à 2n de f(-1) racine de X inférieur ou égal à Un inférieur ou égal à 1 sur 1+n fois la somme des k allant de n à 2n de f(-1) fois 1 sur racine de X
a- montrer que Un est convergente et calculer sa limite