1ère S Etude de la monotonie d’une suite strictement positive

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1ère S Etude de la monotonie d’une suite strictement positive

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Monotonie définition ?

Eh bien, je te réponds (Un) est monotone si elle est croissante, décroissante, ou constante.

Dans tout autre cas, elle n’est pas monotone. Monotone, ça veut dire « ne change pas de comportement », « fait toujours la même chose » ; ) .
Ok, j’arrête là sinon je vais écrire un « les maths pour les nuls »… ; ) Hum, j’ai de l’humour à revendre, ne t’inquiète pas.

D’une façon générale, pour étudier la monotonie d’une suite de nombres, 4 (QUATRE) cas

1 – Observe le signe de la différence « U(n+1) – U(n) » : tu la calcules et tu étudies son signe. Si c’est positif, alors la suite (Un) est croissante, si c’est négatif, alors la suite est décroissante…

OU

2 – Si Un > 0 pour tout n pour lesquels la suite (Un) existe, calcule le rapport « U(n+1) / U(n) » et compare-le à 1. Supérieur à 1 ? Alors la suite croît… etc Ça marche aussi pour une suite STRICTEMENT négative, mais si U(n+1) / U(n) est supérieur à 1 , la suite est décroissante.

OU

3 – Si Un = f(Un), alors étudie le sens de variation de la fonction f (pour cela, regarde le signe de sa dérivée si la fonction f est dérivable)

OU

4 – Si la suite (Un) est une suite arithmétique ou une suite géométrique, alors utilise les théorèmes que tu connais à leur sujet. Une suite arithmétique est croissante si sa raison est positive. Pour une suite géométrique, c’est un peu moins simple, mais ça dépend aussi de sa raison (et parfois du signe de son premier terme).

Tu as des questions ? Tu peux me les poser en haut à droite !

Romain

Transcription texte de la vidéoMontrer

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13 réponses

  1. wafa dit :

    bonjour reponds-moi svp et merci

    1) Mq pour tout nN^ on a : n ≥ 2^(n-1 )
    2) on considère la suite U définie sur N^ par U_n=1+1/1!+1^ /2!+⋯ 1/n!
    a)Mq U est majorée par 3
    b) Mq U est croissante .en déduire qu’elle converge
    3) on pose pour n N^ , V_n= U_n+ 1/(n (n!))
    a)Mq V est décroissante
    b)Mq  (p,g) N^ On a : U_p ≤ V_g
    c) En déduire que V converge
    d)Mq lim┬(n→ +∞)⁡〖U_n 〗 = lim┬(n→ +∞) V_n

    • Romain dit :

      Salut Wafa,
      Merci pour tes questions. Qu’as-tu réussi ? Quelques-unes au moins 😉 ?

      1 ) Pour tout n≥2,Tu as 2≥2, 3≥2, 4≥2, 5≥2 … et n≥2, donc en multipliant membre à membre, tu obtiens bien (factorielle n)≥2^(n-1 )
      2 ) a ) Utilise la conclusion de 1) … si (factorielle n)≥2^(n-1 ), alors, 1 / (factorielle n) <= 1/2^(n-1 ), puis tu fais la somme… tu vas tomber sur la somme d'une suite géométrique de raison ?
      b ) pour montrer qu'elle est croissante, toujours la même méthode ! Tu étudies le signe de U_(n+1) – U_n, pour tout n au-dessus d'un certain rang.

      On verra ensemble pour 3), dis-moi que tu as compris jusqu'ici 😉 !

      Romain

      • Raphaël dit :

        salut je voudrais que vous résolvez ça pour moi:
        1 sur n+1 fois la somme des k allant de n à 2n de f(-1) racine de k inférieur ou égal à Un inférieur ou égal à 1 sur n+1 foi la somme des k allant de n à 2n de f(-1) 1 sur racine de k
        a- montrer que Un est convergente et calculer sa limite

  2. wafa dit :

    slt merci Mr
    Pour 2)a)j’ai trouvé que U est majorée par 1 non par 3 en utilisant votre méthode
    j’ai trouvé
    ∑_(k=1)^n▒1/k ≤∑_(k=1)^n▒1/2^(k-1) avec ∑_(k=1)^n▒1/2^(k-1) est la somme d’une suite géometrique qui vaut 1
    donc
    ∑_(k=1)^n▒1/k =U
    suis-je mal compris?!!
    merci

  3. wafa dit :

    bonjour Mr
    Oui,j’ai fait une faute de calcul
    enfin j’ai trouvé que Un≤〖(2^(n )-1)〗^2/2^n
    aprés j’ai comparé 〖(2^(n )-1)〗^2/2^n à 3 et j’ai trouvé quelle inférieure à 3 et comme
    Un≤〖(2^(n )-1)〗^2/2^n≤3 donc Un est majorée par 3.
    pour 2)b) c’est claire
    merci

  4. Wafa dit :

    Merci bcp pour votre explication
    Pour 3) j’essayais de le faire mais je ne sais pas est-ce-que c’est correcte ou non c’est pour cela si vous pouvez dite-moi comment vous avez raisonné pour 3)b) et d).
    Merci bcp d’avance

  5. […] W(n+1) est utile dans les exercices sur les suites en Maths, car souvent, pour étudier les variations d’une suite (savoir si elle est monotone ou non déjà), tu dois comparer, pour tout n faisant partie de son […]

  6. Sarah dit :

    bonjour comment etudier la monotonie de cette suite
    √(n/n+1)
    merci

  7. mohamed dit :

    bonjours monsieur romain j’ ai problème considèrent (la suite de Cauchy) ;;;svp tu peut m’aider par une petite video qui resume comment montrer qu’une suite est de Cauchy ..et n’oublier ps svp des exemples et merci! 🙂

  8. Raphaël dit :

    Je voudrais savoir la réponse à cet exercice:
    1 sur n+1 fois la somme des k allant de n à 2n de f(-1) racine de X inférieur ou égal à Un inférieur ou égal à 1 sur 1+n fois la somme des k allant de n à 2n de f(-1) fois 1 sur racine de X
    a- montrer que Un est convergente et calculer sa limite

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