1ère S
Étudier la position relative de 2 courbes de fonctions polynôme du 2nd degré
Donc, là, on a ça. Comment faire ça par le calcul ? Toi tu veux savoir si Cf est en-dessous de Cg et si oui, pour quels x en fait, pour quel intervalle.
Comment savoir par le calcul ? Tu vas voir ça va te paraitre tout bête, il faut tout simplement résoudre f(x) inférieur à g(x). Oui, tu pourrais faire f(x)-(gx) mais tu vas voir que ça va revenir au même.
Tu résous cette inéquation. Parce que ça, f(x)-g(x) tu es d’accord, ça te dit bien que la courbe f est en-dessous de celle de g.
Ce qui revient un petit peu au même calcul que le tien mais toi tu oublies un petit quelque chose quand tu me dis f(x)-g(x). Ça c’est juste la différence entre f(x) et g(x) mais ce qu’il faut étudier, c’est le signe de ça.
Alors là, imaginons. Pourquoi on fait ce calcul là, même si c’est un petit peu intuitif. Imaginons que j’ai la courbe de f et imaginons que j’ai la courbe de g. Un truc comme ça. Donc Cg et là, Cf. ça c’est la théorie mais c’est important pour voir d’où vient ce calcul bleu.
On est d’accord que si je prends un x, n’importe où. Je vais le placer là. Où est le g(x) ?
Le g(x) on est d’accord il faut monter sur la courbe noire et là, on reporte ça sur l’axe des y et on obtient g(x) ici. C’est un nombre g(x). Il ne faut pas dire que g(x) c’est une fonction. Souvent on dit ça en allant un peu plus vite. Et non, c’est g la fonction. g(x) c’est un nombre. Une fonction et un nombre ce sont bien deux objets différents en maths.
Ça c’est important. Et du coup tu montes et tu obtiens aussi le f(x) sur la fonction rouge. Voilà. Et du coup, f(x)-g(x) qu’est-ce que ça représente le nombre f(x)-g(x), parce que c’est bien une différence entre deux nombres. À ton avis, c’est de quel signe ici ? Dans ce cas là ? Tu vois f(x), il est plus grand que g(x) à ton avis ? Et bien oui, je pense.
Tu seras d’accord pour dire oui parce que le f(x) il est au-dessus sur l’axe des y. Donc cette différence f(x)-g(x) elle est de quel signe, pour ce x là en particulier ? Elle est ici positive. Et du coup est-ce que c’est cohérent avec le fait que la courbe de f est au-dessus de la courbe de g ? Et bien oui parce que la courbe rouge à ce niveau là, elle est bien au-dessus de la courbe noire.
Voilà donc c’est de là que vient ce calcul en fait. Ce calcul f(x)-g(x) qui revient exactement au même, je pense que tu comprends, que celui que je t’ai montré là : f(x) inférieur à g(x).
Alors du coup on résout ça. Alors pour résoudre ça et bien on écrit, on remplace f(x) et g(x) par les expressions des fonctions. Alors on va passer le g(x) à gauche pour obtenir inférieur ou égal à 0. Ça fait -g(x):
« Calcul mathématique »
Alors pourquoi on ne laisse pas le f(x) et g(x) de chaque côté ? Et bien en fait c’est pour regrouper les x ensemble. Comme ça on obtient une inéquation avec du zéro.
Ça c’est important, c’est une technique qu’on voit dès la seconde en fait, qui permet de s’attaquer à une inéquation, de la transformer en une étude de signe. Là il suffit plus que de savoir quand est-ce que ce truc-là est négatif en fait.
Donc en fait on va dessiner le tableau de signe de ça. Mais d’abord on simplifie. Bien souvent c’est ça une inéquation, il s’agit de transformer le problème en un tableau de signe en fait. Donc il faut obtenir un 0 à gauche ou à droite du symbole inférieur ou supérieur. Donc on obtient :
« Calcul mathématique »
N’hésitez pas à barrer les termes dont vous vous êtes déjà occupés, comme ça, ça laisse la place pour les autres et on visualise bien.
Donc moi ce que je t’encourage à faire, vu que là, c’est ce qu’on appelle une inéquation du second degré parce que là on a un trinôme, c’est-à-dire un polynôme du second degré de la forme ax carré plus bx plus c.
Donc là, je calculerais Delta. Donc on remet toujours la formule b carré moins 4ac, comme ça clarifie bien les choses. On l’a sous les yeux et non pas dans sa tête. Comme ça il faut juste remplacer le a, le b et le c. Ce sont des astuces que je vous donne pour essayer de minimiser le risque d’erreur même s’il y a toujours des erreurs possibles. On ne peut pas arriver au risque zéro d’erreur. Donc ça donne :
« Calcul mathématique »
C’est positif, ça va nous donner deux racines réelles distinctes qu’on note souvent x1 et x2.
Alors je fais le tableau de signe. Je le fais juste là. Donc là, les x. On va mettre plus l’infini et moins l’infini. Il n’y a pas de valeur interdite dans cet exercice puisque les fonctions f et g ce sont deux polynômes du second degré donc il n’y a aucune valeur interdite ici. L’ensemble de définition de ces fonctions c’est R. Je le précise là mais c’était quand même important de le dire.
Ensuite, on met notre trinôme c’est-à-dire x carré plus 8x plus 7. On met les racines. D’ailleurs les racines je ne les ai pas calculées, je vais le faire juste en-dessous. X1 et X2 ça va donner :
« Calcul mathématique »
Donc ça donne -7 et -1. On les place. Le -7 va bien sûr être à gauche du -1 parce que c’est plus petit. Et du coup on met les zéros.
Et là on connait notre cours, la parabole de cette chose-là, que j’entoure en rouge, c’est une parabole qui est tournée vers le haut parce que le a est positif. Donc c’est quelque chose comme ça. D
Donc elle coupe deux fois l’axe des abscisses. Je peux faire l’axe des abscisses, parce qu’il y a deux racines : x1 et x2.Donc le signe on le voit direct. C’est + sur moins l’infini jusqu’à -7, c’est moins et c’est plus. Donc là, on cherchait quand est-ce que c’est négatif : c’est négatif sur l’intervalle ]-7;-1[
Donc on revient à notre problème. Notre inéquation de base c’était celle-là, mais en fait elle est équivalente à rechercher quand est-ce que cette chose-là est négative. Parce qu’en fait on a fait des transformations toujours équivalentes. Et bien c’est sur [-7;-1]. D
Donc en fait, Cf est en dessous de Cg sur [-7;-1].
Donc on se rappelle des choses : pour étudier la position relative de deux courbes de fonctions et bien on fait l’une moins l’autre et on regarde le signe de ça. Si c’est positif, la courbe de la première fonction elle est au-dessus de l’autre et si c’est négatif, c’est l’inverse.
Tu n’es pas forcément obligé d’écrire le trinôme sous sa forme factorisée, tu peux l’écrire sous sa forme factorisée si tu veux, c’est-à-dire transformer cette équation que j’ai mise en bleu clair, la dernière, par :
« Calcul mathématique »
Il n’y a pas de souci tu peux faire comme ça et après mettre (x+1) ou (x+7) dans ton tableau etc. Mais bon, vu que c’est un trinôme du second degré, qu’on connait notre cours là-dessus, on utilise directement notre cours.
Et tu peux très bien mettre à côté du tableau la règle générale, c’est-à-dire qu’un trinôme qui possède deux racines est du signe de a sur ]moins l’infini ; x1[ du signe de -a sur ]x1;x2[ etc. tu le rappelles en une phrase comme ça. Je pense que c’est mieux comme ça le prof sait d’où ça vient ton moins ton plus.
Sinon, tu fais comme tu as fait, tu écris ça d’abord. Et par contre là, il faut bien mettre le (x+7) et le (x+1) avant dans ton tableau. Et là, pas besoin de rappeler la règle sur le trinôme parce qu’en fait tu ne l’utilises pas. Tu utilises la règle du signe d’une fonction affine.
Les fonctions affines (x+1) et (x+7), ce sont des fonctions qui sont croissantes donc c’est moins, plus pour les 2. L’une s’annule en -7, l’autre en -1. Et on retrouve bien sûr notre +,-, + en rouge.
On vient de trouver en fait que f(x)-g(x) est inférieur à 0 pas sur n’importe quel intervalle, sur [-7;-1].
Voilà donc f(x) est plus petit que g(x) sur cet intervalle.
Donc la courbe de f est en-dessous de la courbe Cg sur cet intervalle.
Donc retiens bien aussi cette petite technique pour comparer deux nombres qui est plus large que l’étude de la position relative de deux courbes.
La technique pour comparer deux nombres c’est d’étudier le signe du premier nombre moins le deuxième.
