1ère S Exercice Barycentre et associativité
- par Romain
- dans 1ère S, Statistiques
- sur 17 février 2011
Choisis ta façon de résoudre cet exercice de maths sur les barycentres. Il y en a 2 !
La 1ère façon en utilisant la relation classique sur les barycentres
Tu sais, cette fameuse relation qui donne le vecteur nul, et qui ne comporte que des vecteurs commençant par le point G ! Une fois écrite, il te suffit d’exploiter TOUTES les infos de l’énoncé, à savoir la relation avec les vecteurs DA et DB.
Quand tu as bien exploité toutes les informations de l’énoncé, observe bien où tu en es. Une fois nettoyée, la relation obtenue devrait te dire quelque chose, c’est ce pas ?
Et oui ! C’est une relation barycentrique ! Qui plus est, le point G est ici l’iso barycentre des deux points C et D. Donc il est finalement le milieu du segment CD.
En effet, dire qu’un point est l’isobarycentre de 2 autres points, c’est dire qu’il est au milieu d’eux.
Quand le point G est l’isobarycentre de 3 points (donc des sommets du triangle formé par ces trois points), le point G est en fait le centre de gravité dudit triangle ! Sache que le centre de gravité d’un triangle (appelé aussi centre de masse, il y a une jolie expérience de physique à faire 😉 ) est le point d’intersection des médianes du triangle.
Pour rappel, dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et coupe le segment opposé en son milieu. Les trois médianes sont coucourantes en le point G = l’isobarycentre des sommets = le centre de gravité du triangle = le centre de masse du triangle. Mais, 3 points, c’est déjà une autre histoire…
Une bonne astuce de Maths
Ah oui ! Utilises TOUTES les informations de l’énoncé ! L’énoncé d’un exercice de Maths ne te fournit que TRÈS rarement des données qui ne servent à rien. Donc, si tu as oublié d’utiliser une relation, une propriété, bref, une information quelle qu’elle soit de l’énoncé, alors c’est que tu n’as pas bien répondu à toutes les questions 😉 !
Ne rate pas une seule perle dans l’énoncé. Ce sont des perles qui te rapporteront gros : elles peuvent augmenter ta moyenne, te fabriquer un bon dossier, et plus encore…
La deuxième façon : théorème d’associativité pour les barycentres
Le théorème d’associativité est vraiment une solution simple et élégante de résoudre cet exercice sur les barycentres.
Il te suffit de voir que la relation vectorielle avec les vecteurs DA et DB est aussi une relation barycentrique, avec D le barycentre des points pondérés A et B, avec les bons poids que tu trouves par identification. Pour le voir, il s’agit de transformer la relation vectorielle avec les vecteurs DA et DB en une relation vectorielle avec le terme de droite étant le vecteur nul.
Ensuite, l’associativité est géniale, car elle te permet de dire que G est juste le barycentre, non plus de 3 points, mais de 2 points, ici D et C, avec le juste poids pour chacun !
En conclusion, le théorème d’associativité dans le cours sur les barycentres te permet de réduire le nombre d’informations sur ton radar 😉 ! Tu peux te dire que le point D « représente » les points A et B, donc, maintenant, on peut oublier ces derniers.
Analogie avec le chapitre sur les statistiques
On peut faire l’analogie avec le chapitre sur les statistiques ! Oui, je t’assure !
En effet, pour simplifier des ensembles de nombres, pour les rendre « lisibles », on calcule un ou deux indicateurs qui les représentent. Par exemple, une moyenne et un écart type.
Comme cela, tu peux « oublier » tous les nombres qu’il y a derrière, tu peux les masquer, car cette moyenne et cet écart type nous disent juste ce qu’on a besoin de savoir sur eux.
Ici, c’est pareil, on a masqué les points A et B grâce au point D…
Allez, une autre vidéo demain !
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Romain
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1ère S Exercice Barycentre et associativité Bonjour à toi et bienvenue sur le blog Star en Maths TV. Aujourd’hui nous allons résoudre un exercice sur les barycentres. On a un point G qui est le barycentre de trois points; (A;3), (B;-1) et (C;2). Et enfin on a le point D qui est défini par la relation vectorielle <calcul mathématique> Et on nous demande de montrer que le point G est le milieu du segment CD. Alors comment va-ton résoudre un tel exercice? Et bien moi je te propose déjà une première façon, qui est la façon classique; c’est-à-dire en utilisant la relation vectorielle donnée avec le point G. On va exprimer en fait que G est le barycentre de ces trois points-là avec une relation vectorielle classique. Ensuite, on va essayer de démontrer que G est le milieu de CD. Donc ça, je vais te montrer dans un premier temps, la première façon de faire. Donc nous allons essayer d’exprimer que G est le barycentre de ces trois points avec une relation vectorielle. Et bien tu sais que je te recommande de connaître la relation qui est valable pour tout point M et qui est ici appliquée à ces trois points pondérés-là : <calcul mathématique> Et ça, c’est une relation valable pour tous les points M du plan. Donc, on va l’appliquer ici pour M=G, pour retrouver une relation classique tu connais sans doute, mais qu’on retrouve par la formule générale. C’est beaucoup plus simple de retenir une seule formule générale dans le cours sur les barycentres. Et comme ceci tu peux retrouver toutes les autres formules. Donc ici on remplace M par G et qu’est-ce que l’on découvre? Que : <calcul mathématique> Voilà. Une fois que tu as cette relation-là – c’est une relation qui caractérise que G est le barycentre de ces trois points-là – très bien. Mais nous, il ne faut pas oublier la question qui est qu’il faut démontrer que ce point G est le milieu du segment CD. Alors est-ce que cette relation fait apparaitre le point D? Et bien non. Et donc pour utiliser toutes les hypothèses de l’énoncé, il faut aussi utiliser cette information-là. Donc comment utiliser cette relation-là? Et bien ce que je te recommande de faire, c’est de faire apparaître dans cette relation-là le point D. Et pour le faire apparaitre, et bien on va utiliser une relation que tu connais très bien sur les vecteurs, c’est la relation de Chasles, qui te permet de découper n’importe quel vecteur en insérant un point dans un vecteur. Ici, pour faire apparaitre le vecteur DA par exemple, nous allons considérer le vecteur GA et insérer D dedans. Donc nous allons découper GA en GD et DA d’après la relation de Chasles sur les vecteurs, c’est la même chose. Donc ce que l’on fait c’est que l’on transforme cette relation-là en faisant apparaître le point D. Donc : <calcul mathématique Pourquoi on ne transforme pas le GC? Parce que cette relation vectorielle ne contient pas de C, alors nous n’avons aucun intérêt à transformer le GC pour utiliser cette relation. Cette relation, on va l’utiliser ici parce qu’on va utiliser les deux vecteurs de cette relation – DA et DB – ici et ici. Donc maintenant, on va développer ici cette relation : <calcul mathématique> Et qu’est-ce que l’on remarque? On remarque que on a 3DA. Donc on va pouvoir vraiment utiliser cette relation-là, c’est-à-dire l’appliquer, la mettre en pratique. Et ici, on a DB. Donc si tu utilises cette relation-là, cette égalité : <calcul mathématique> Alors sois tu reconnais immédiatement que ceci signifie que le point G est l’iso-barycentre des points D et C, ce qui veut dire concrètement que G est le milieu de D et C. Tu peux aussi faire un petit schéma très rapidement, et tu places deux points D et C. Tu vois forcément que le point G est le milieu du segment CD, comme ceci. Et comme ceci tu as les deux vecteurs GD et GC, et quand tu les ajoutes, ils s’annulent, ce qui te montre bien que G est le milieu du segment CD. Donc là on vient de conclure, avec cette première façon de résoudre l’énoncé, que G est bien le milieu de CD quand on a ces deux hypothèses-là. Une autre façon de résoudre l’exercice est d’utiliser le théorème d’associativité. Donc, on va résoudre cet exercice de la deuxième façon. Et avec cette deuxième façon, comme je viens de te le dire, on va essayer de mettre en pratique le théorème d’associativité. Comment va-t-on faire? Et bien plutôt que de partir du fait que G est le barycentre des trois points pondérés A, B et C, et bien on va partir de cette relation-là. Et si tu la transformes un petit peu, de telle sorte que tu as : <calcul mathématique> Est-ce que ça ne te sautes pas aux yeux que cette relation-là est équivalent à dire que D est le barycentre des deux points pondérés A et B? En fait c’est là même chose, d’avoir cette relation-là et de dire que D est le barycentre de A et B. Si on te disais que D est le barycentre de A et B avec (A;3) et (B;-1), ce que tu écrirais finalement c’est cette relation vectorielle-là. C’est vraiment une équivalence. Donc si D est le barycentre de (A;3) et (B;-1), finalement ce que l’on retrouve ici et bien on le retrouve là. Donc on peut dire que G est le barycentre des points pondérés (D;2) et (C;2). Là on vient vraiment d’utiliser le théorème d’associativité, c’est-à-dire que l’on a associé cet ensemble de deux points à ce seul point D qui est de poids de la somme des deux points. Donc finalement G devient le barycentre de deux points, et ces deux points sont (D;2) et (C;2). Et ceci est aussi équivalent à dire que G est l’iso-barycentre des points D et C. Autrement dit, G est le milieu de D et C. Tu pourrais tout aussi bien écrire la relation : <calcul mathématique> Donc on retrouve ce que l’on avait écrit dans la première façon de résoudre l’exercice. Donc tout ceci est vraiment équivalent à dire que G est le milieu du segment CD. D’accord? Donc c’était une autre façon de résoudre l’exercice. Ici on a utilisé le théorème d’associativité quand on est passé de cette hypothèse-là à cette hypothèse-là, puisque l’on a associé l’ensemble des deux points A et B à juste ce barycentre-là, de poids la somme des deux poids. |
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Une réponse
merciiiiiii merciiiiiii beaucoups je bien compris et je veux tu m’ancienerais et merci encore 😀