1ère S Exercice Barycentre et associativité

1ère S Exercice Barycentre et associativité

Bonjour à toi et bienvenue sur le blog Star en Maths TV. Aujourd’hui nous allons résoudre un exercice sur les barycentres. On a un point G qui est le barycentre de trois points; (A;3), (B;-1) et (C;2). Et enfin on a le point D qui est défini par la relation vectorielle

<calcul mathématique>

Et on nous demande de montrer que le point G est le milieu du segment CD.

Alors comment va-ton résoudre un tel exercice? Et bien moi je te propose déjà une première façon, qui est la façon classique; c’est-à-dire en utilisant la relation vectorielle donnée avec le point G. On va exprimer en fait que G est le barycentre de ces trois points-là avec une relation vectorielle classique. Ensuite, on va essayer de démontrer que G est le milieu de CD. Donc ça, je vais te montrer dans un premier temps, la première façon de faire.

Donc nous allons essayer d’exprimer que G est le barycentre de ces trois points avec une relation vectorielle. Et bien tu sais que je te recommande de connaître la relation qui est valable pour tout point M et qui est ici appliquée à ces trois points pondérés-là :

<calcul mathématique>

Et ça, c’est une relation valable pour tous les points M du plan. Donc, on va l’appliquer ici pour M=G, pour retrouver une relation classique tu connais sans doute, mais qu’on retrouve par la formule générale. C’est beaucoup plus simple de retenir une seule formule générale dans le cours sur les barycentres. Et comme ceci tu peux retrouver toutes les autres formules.

Donc ici on remplace M par G et qu’est-ce que l’on découvre? Que :

<calcul mathématique>

Voilà. Une fois que tu as cette relation-là – c’est une relation qui caractérise que G est le barycentre de ces trois points-là – très bien. Mais nous, il ne faut pas oublier la question qui est qu’il faut démontrer que ce point G est le milieu du segment CD.

Alors est-ce que cette relation fait apparaitre le point D? Et bien non. Et donc pour utiliser toutes les hypothèses de l’énoncé, il faut aussi utiliser cette information-là. Donc comment utiliser cette relation-là? Et bien ce que je te recommande de faire, c’est de faire apparaître dans cette relation-là le point D. Et pour le faire apparaitre, et bien on va utiliser une relation que tu connais très bien sur les vecteurs, c’est la relation de Chasles, qui te permet de découper n’importe quel vecteur en insérant un point dans un vecteur.

Ici, pour faire apparaitre le vecteur DA par exemple, nous allons considérer le vecteur GA et insérer D dedans. Donc nous allons découper GA en GD et DA d’après la relation de Chasles sur les vecteurs, c’est la même chose.

Donc ce que l’on fait c’est que l’on transforme cette relation-là en faisant apparaître le point D. Donc :

<calcul mathématique

Pourquoi on ne transforme pas le GC? Parce que cette relation vectorielle ne contient pas de C, alors nous n’avons aucun intérêt à transformer le GC pour utiliser cette relation. Cette relation, on va l’utiliser ici parce qu’on va utiliser les deux vecteurs de cette relation – DA et DB – ici et ici.

Donc maintenant, on va développer ici cette relation :

<calcul mathématique>

Et qu’est-ce que l’on remarque? On remarque que on a 3DA. Donc on va pouvoir vraiment utiliser cette relation-là, c’est-à-dire l’appliquer, la mettre en pratique. Et ici, on a DB. Donc si tu utilises cette relation-là, cette égalité :

<calcul mathématique>

Alors sois tu reconnais immédiatement que ceci signifie que le point G est l’iso-barycentre des points D et C, ce qui veut dire concrètement que G est le milieu de D et C. Tu peux aussi faire un petit schéma très rapidement, et tu places deux points D et C. Tu vois forcément que le point G est le milieu du segment CD, comme ceci. Et comme ceci tu as les deux vecteurs GD et GC, et quand tu les ajoutes, ils s’annulent, ce qui te montre bien que G est le milieu du segment CD.

Donc là on vient de conclure, avec cette première façon de résoudre l’énoncé, que G est bien le milieu de CD quand on a ces deux hypothèses-là.

Une autre façon de résoudre l’exercice est d’utiliser le théorème d’associativité. Donc, on va résoudre cet exercice de la deuxième façon. Et avec cette deuxième façon, comme je viens de te le dire, on va essayer de mettre en pratique le théorème d’associativité.

Comment va-t-on faire? Et bien plutôt que de partir du fait que G est le barycentre des trois points pondérés A, B et C, et bien on va partir de cette relation-là. Et si tu la transformes un petit peu, de telle sorte que tu as :

<calcul mathématique>

Est-ce que ça ne te sautes pas aux yeux que cette relation-là est équivalent à dire que D est le barycentre des deux points pondérés A et B? En fait c’est là même chose, d’avoir cette relation-là et de dire que D est le barycentre de A et B.

Si on te disais que D est le barycentre de A et B avec (A;3) et (B;-1), ce que tu écrirais finalement c’est cette relation vectorielle-là. C’est vraiment une équivalence.

Donc si D est le barycentre de (A;3) et (B;-1), finalement ce que l’on retrouve ici et bien on le retrouve là. Donc on peut dire que G est le barycentre des points pondérés (D;2) et (C;2). Là on vient vraiment d’utiliser le théorème d’associativité, c’est-à-dire que l’on a associé cet ensemble de deux points à ce seul point D qui est de poids de la somme des deux points.

Donc finalement G devient le barycentre de deux points, et ces deux points sont (D;2) et (C;2). Et ceci est aussi équivalent à dire que G est l’iso-barycentre des points D et C. Autrement dit, G est le milieu de D et C.

Tu pourrais tout aussi bien écrire la relation :

<calcul mathématique>

Donc on retrouve ce que l’on avait écrit dans la première façon de résoudre l’exercice. Donc tout ceci est vraiment équivalent à dire que G est le milieu du segment CD. D’accord? Donc c’était une autre façon de résoudre l’exercice. Ici on a utilisé le théorème d’associativité quand on est passé de cette hypothèse-là à cette hypothèse-là, puisque l’on a associé l’ensemble des deux points A et B à juste ce barycentre-là, de poids la somme des deux poids.