1ère S Expression analytique d’une homothétie

1ère S Définition analytique d’une homothétie

Comment trouver la définition analytique d’une homothétie?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV, aujourd’hui dans l’exercice nous allons donner la définition analytique d’une homothétie de centre I(-4 ;1) et de rapport k=-3.

Alors qu’est ce que c’est qu’une définition analytique d’une homothétie ? Alors déjà la définition analytique d’une transformation dans le plan ou dans l’espace c’est en fait quelque chose qui donne la relation entre les coordonnées d’un point transformé et les coordonnées du point original.

<calcul mathématique>

Donc nous on cherche à connaître ces fonctions f et g, ça peut paraître un peu compliqué, c’est un peu une définition théorique mais ce qu’on chercher à savoir c’est de quelle façon x’ dépend de x et y et de quelle façon y’ dépend de x et y. Donc nous on va chercher les fonctions f et g. Comment on va faire ? Et bien en fait on va revenir à la définition tout simplement d’une homothétie qui est ici de centre I et de rapport k=-3.

Donc qu’est ce que c’est qu’une homothétie ? Et bien nous ce qu’on va utiliser c’est la définition vectorielle d’une homothétie puisque si je prends n’importe quel point M du plan qui est transformé en M’ et bien nous ce qu’on a :

<calcul mathématique>

Donc cette définition là est très importante puisque elle caractérise une homothétie. Qu’est ce que ça veut dire « qui caractérise » ?

Et bien ça veut dire qu’une homothétie c’est ça, c’est cette relation là ! Donc nous, nous allons utiliser cette égalité vectorielle, donc comment ?

Alors, tu connais les coordonnées d’un vecteur, normalement tu sais composer les coordonnées d’un vecteur depuis la classe de seconde à peut près.

Donc si tu as M’ qui est de coordonnée (x’ ; y’) et que tu connais les coordonnées du point I qui sont ici (-4 ; 1) et bien :

<calcul mathématique>

Ici je n’ai fait qu’utiliser cette relation très simple qui fait que :

<calcul mathématique>

En fait dire qu’un vecteur est k×un autre vecteur, c’est dire que chacune de ces coordonnées est égale à k× les coordonnées du premier vecteur. C’est exactement ce que j’ai écris ici. Donc ça c’est un petit rappel général. Et donc on l’a appliqué ici, c’est exactement ce qu’on a appliqué ici. C’est pour ça que j’ai écris, pour aller lentement et bien détailler notre raisonnement, les coordonnées du vecteur IM’ et IM avant. Donc une fois qu’on a ça, et bien tu vois qu’on se rapproche très rapidement d’un système qui ressemble à celui ci puisque plutôt que de garder x’+4 on va exprimer x’= quelque chose et de la même façon y’= quelque chose. Et bien c’est très simple on va développer ici à droite pour que ça soit plus joli et on va passer le 4 et le -1 de l’autre côté donc ça va nous donner finalement :

<calcul mathématique>

Donc finalement nous avons trouvé une relation qui nous donne les coordonnées du point transformé M’ en fonction des coordonnées du point qu’on veut transformer, le point M de coordonnées qu’on veut transformer.

Donc c’est exactement ce qu’on voulait, c’est ça qu’on appelle une définition analytique d’une transformation dans le plan et plus particulièrement ici, d’une homothétie. Donc on connaissait les coordonnées de son centre et son rapport. Donc il suffisait finalement de reprendre cette relation vectorielle et de traduire cette relation vectorielle là en terme de coordonnées et c’est exactement ce qu’on a fait ici. En fait il suffit de voir ce que donne cette relation vectorielle suivant l’axe des x et suivant l’axe des y donc en utilisant cette petite règle de cours dont j’espère que tu te souviens.