1ère S Formule barycentre 3 points

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Dans l’exercice d’aujourd’hui, nous avons un triangle ABC équilatéral et nous devons construire le barycentre G des points pondérés A avec le poids 2, B avec le poids 1 et C avec le poids 3.

Alors comment faire cet exercice, comment construire le barycentre G de ces points pondérés-là. Alors première chose que je te recommande de faire, c’est de faire un dessin, car le dessin n’est pas fait à la base !

Donc traçons rapidement un triangle équilatéral. Vu qu’il est équilatéral, très rapidement, tu fais apparaître que les côtés sont égaux. Tu peux le faire apparaître comme ceci avec une double barre. Et puis, tu mets bien sûr les sommets A, B et C.

Alors bien sûr, là, il n’est pas vraiment équilatéral mon triangle, mais c’est pas très grave. L’intérêt, c’est d’avoir un schéma suffisamment grand, suffisamment clair et avec toutes les informations de l’énoncé.

Donc nous devons construire le barycentre des points pondérés A, B et C. Alors la première chose à vérifier quand tu dois construire un barycentre, c’est vérifier que ce barycentre existe.

Alors là, est-ce que G existe ? Pour le savoir, il faut que tu vérifies que la somme de chaque poids ici considérés est différente de zéro.

Si elle est différente de 0, alors G existe. En fait, la somme des poids ne peut pas être égale à zéro, car sinon, le point G n’existe pas.

Donc, ici, vu que 2+3+1 est différent de 0, alors, oui, G existe.

Ensuite, pour le placer, comment va-t-on le placer ? On va utiliser une des relations sur les barycentres que tu connais peut-être, et moi je te recommande d’en connaître une parmi toutes celles que tu as apprises dans le cours, vraiment une, vraiment une seule. Et à partir de laquelle tu peux retrouver toutes les autres. Et cette formule, c’est la formule générale valable pour tous les points M.

Et va l’écrire ici dans le cas où on a trois points, donc trois points pondérés, A pondéré de alpha, le point B pondéré de bêta, le point C de poids gamma.

On ne confond pas alpha et gamma, ce sont deux lettres différentes.

Et la formule générale que je veux te montrer est la suivante :

(Formule)

Et cette formule-là est valable pour tous les points M, n’importe quel point M du plan.

Et donc, ce qui est magique, c’est que si tu prends M = G, tu vas retrouver une formule du cours que tu connais très bien :

(Formule)

Sinon, si tu remplaces aussi M par A, et ici, c’est ce qu’on va utiliser, si tu remplaces M par A, tu vas annuler le premier vecteur.

Si je prends M égal à A : (Calcul) Les vecteurs AC et AB te sont connus, ce sont des côtés de ce triangle équilatéral.

Et c’est magique puisque maintenant tu peux placer le point G à partir de cette formule si tu vas un petit peu plus loin.

Il faut que ce coefficient-là qui est un réel, c’est une somme de nombres réels, tu le passes de l’autre côté entre guillemets, tu divises par la somme alpha plus beta plus gamma de façon à obtenir le vecteur AG égal à quelque chose.

(Calcul)

Voilà pour la relation, et cette relation-là te permet justement de placer le point G, à partir du point A que tu connais, qui est fixe dans le plan. Cela te donne une relation à partir de vecteurs AB et AC que tu connais.

Dans notre cas, appliquons cette formule à notre cas. Si tu prends chacun des coefficients, tu identifies chacun des coefficients à ceux de l’énoncé.

(Identification)

Et, si cette formule générale, on l’applique à notre cas, il suffit de remplacer.

(Calcul)

Et cette formule te placer le point G. Puisque si tu prends ce vecteur-là, un sixième de AB, tu le connais.

(Dessin)

Et ensuite, tu considères le vecteur un demi de AC.

(Dessin)

Et, enfin, pour placer le point G, il te suffit d’additionner les vecteurs un sixième de AB et un demi de AC. Et donc, si tu additionnes ces deux vecteurs-là, en partant de A, tu prends l’un des vecteurs, on va prendre un sixième de AB, et tu ajoutes l’autre vecteur.

De façon à obtenir un parallélogramme.

Et donc ça y est, tu viens de placer le point G à partir de deux vecteurs que l’on connaissait, et en ayant exprimé AG.

Tu aurais tout aussi bien faire autrement et calculer par exemple le vecteur BG ou même CG à partir d’autres vecteurs que tu connais. Les vecteurs que tu connaissais ici sont les vecteurs AB, BC ou AC.

Donc la relation générale à connaître, et c’est presque la seule relation dans le chapitre des barycentres que je te recommande de connaître. Donc celle-ci est valable pour trois points, mais elle est valable aussi pour deux points.

Donc, tu peux très bien enlever le point pondéré C. G serait ici le barycentre des deux points A et B.

C’est vraiment cette relation-là que je te recommande de connaître. Et tu peux remplacer M par n’importe quel point au besoin de l’exercice.

Autre chose ici, pour faire marcher ton intuition, tu peux observer que le point G est plus proche du point C que des autres points. Pourquoi ? Parce que le point C a un poids plus important que les autres points, et donc il attire plus le barycentre des trois points vers lui.

Tu peux penser au parallèle avec les planètes, puisque les planètes, plus elles sont lourdes, plus leur masse est importante, plus elle crée une force gravitationnelle qui est forte vers elles.

Pour illustrer ici, tu peux penser à la Terre et la comparer à la Lune. La Terre a une masse plus importante que la Lune. Si tu regardes bien, on vole un petit plus sur la Lune, quand on fait un saut par exemple, que sur la Terre. La Terre attire plus les choses vers elles.

Ici c’est pareil, le point C attire plus le point G vers lui que les points A et B.